Question

【题目】已知直线（k＞0）与双曲线（x＞0）交于点M、N，且点N的横坐标为k. .

(1) 如图1，当k=1时.

①求m的值及线段MN的长；

②在y轴上是否是否存在点Q，使∠MQN=90°，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

(2) 如图2，以MN为直径作⊙P，当⊙P与y轴相切时，求k值.

Answer 1

【答案】(1)①m=7；MN=6；②（3）k=-3.

【解析】试题分析：（1）①根据题意直接代入即可求出m的值，然后求出M、N两点的坐标，根据勾股定理可求解；

②如图，过M、N作y轴的垂线于J、I，设Q(0，t)，由相似三角形的性质可求Q点的坐标；

（2）由双曲线与直线联立方程，得N(k,k+6), M(k+6，k),然后可求得MN的长，表示出P点的坐标，然后根据相切求出结果.

试题解析：(1) ① m=7，MN=6。

②存在，

如图，过M、N作y轴的垂线于J、I，设Q(0，t)，

由相似三角形得，

解得，

所以Q点的坐标为， ；

(2)由双曲线与直线联立方程，得N(k,k+6), M(k+6，k),

求得MN=6，P(k+3,k+3),

∵⊙P与y轴相切,

∴k+3=,

所以k=-3