Question

如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，设大圆与小圆的半径分别为a、b．求证：AD·BD=a²－b²．

 

Answer 1

答案：
解析：

作OE⊥AB，垂足为E，连结OA、OC． 则OA=a,OC=b． 在Rt△AOE中，AE2=OA2－OE2，在Rt△COE中，CE2=OC2－OE2． ∴AE2－CE2=OA2－OC2=a2－b2． 即（AE+CE）（AE－CE）=a2－b2． 由垂径定理，得AE=BE，CE=DE． ∴AE+CE=AE+DE=AD，AE－CE=BE－DE=BＤ．∴AD·BD=a2－b2．

提示：

这是一个同心圆的问题，首先想到过圆心作弦的垂线，连结OA、OC，把问题转化到直角三角形中，然后利用垂径定理、勾股定理解决问题．