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如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=60°,BC=24,点P是BC边上的动点(点P与点B、C不重合),过动点P作PDBA交AC于点D.
(1)若△ABC与△DAP相似,则∠APD是多少度?
(2)试问:当PC等于多少时,△APD的面积最大?最大面积是多少?
(3)若以线段AC为直径的圆和以线段BP为直径的圆相外切,求线段BP的长.
(1)当△ABC与△DAP相似时,
∠APD的度数是60°或30°.

(2)设PC=x,
∵PDBA,∠BAC=90°,
∴∠PDC=90°,
又∵∠C=60°,
∴AC=24•cos60°=12,
CD=x•cos60°=
1
2
x,
∴AD=12-
1
2
x,而PD=x•sin60°=
3
2
x,
∴S△APD=
1
2
PD•AD=
1
2
3
2
x•(12-
1
2
x)=-
3
8
(x2-24x)
=-
3
8
(x-12)2+18
3

∵a=-
3
8
<0,
∴抛物线的开口方向向下,有最大值,
即当x=12时,最大值是18
3

∴PC等于12时,△APD的面积最大,最大面积是18
3


(3)连接O1O2,设以BP和AC为直径的圆心分别为O1、O2,过O2作O2E⊥BC于点E,
设⊙O1的半径为x,则BP=2x,显然,AC=12,
∴O2C=6,
∴CE=6•cos60°=3,
∴O2E=
62-32
=3
3
,O1E=24-3-x=21-x,
又∵⊙O1和⊙O2外切,
∴O1O2=x+6,
在Rt△O1O2E中,有O1O22=O2E2+O1E2
∴(x+6)2=(21-x)2+(3
3
2
解得:x=8,
∴BP=2x=16.
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A.
3
7
B.
5
2
C.
8
5
D.
3
5

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