Question

17．如图，△ABC中，D为BC上的点，DC=2BD，以DC为直径作圆交AB于点E，若AE=AC，则sinB的值为（　　）

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{8}$
• D． $\frac{3\sqrt{6}}{8}$

Answer 1

分析 解法一，如图，作辅助线，设AC=4x，则MC=6x，AM=2x，所以AB=AE+BE=8x，根据三角函数表示BN和CN的长，并利用勾股定理计算BC的长，计算结论即可；
解法二，如图，作辅助线，构建直角三角形，利用垂径定理证明EG=CG，由三角形的中位线定理得：ED=2OG，设OG=x，则ED=2x，由DC=2BD，可知：ED也是△ABO的中位线，则AO=2ED=4x，利用勾股定理计算CG=$\sqrt{（4x）^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{15}$x，由面积法得：CG=AH=$\sqrt{15}$x，在Rt△ABH中，可求得sinB的值．

解答 解：解法一：如右图，过C作CN⊥BA于N，过B作BM⊥CA于M，连接ED、AD、OA，
∵AE=AC，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{AC}$，
∴∠EDC=∠AOC，
∴DE∥AO，
∵DC=2BD，
∴BD=OD，
∴AE=BE，
∵DC是⊙O的直径，
∴∠DAC=90°，
∵∠BMC=90°，
∴∠DAC=∠BMC，
∴AD∥MB，
∴△ADC∽△MBC，
∴$\frac{DC}{BC}=\frac{AC}{MC}=\frac{2}{3}$，
设AC=4x，则MC=6x，
∴AM=2x，
∴AB=AE+BE=8x，
∵∠MBA=∠ACN，
∴sin∠MBA=sin∠ACN=$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$，
∴$\frac{2x}{8x}=\frac{AN}{4x}$，
∴AN=x，
∴BN=9x，
在Rt△ACN中，NC=$\sqrt{（4x）^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{15}$x，
在Rt△BNC中，BC=$\sqrt{（9x）^{2}+（\sqrt{15}x）^{2}}$=4$\sqrt{6}$x，
∴sin∠B=$\frac{CN}{BC}$=$\frac{\sqrt{15}x}{4\sqrt{6}x}$=$\frac{\sqrt{10}}{8}$；
解法二，如右图，连接OA、EC、ED，EC与OA交于G，过A作AH⊥OC于H，
∵AE=AC，
∴$\widehat{AE}=\widehat{AC}$，
∴OA⊥EC，
∴EG=CG，
∵DC为⊙O的直径，
∴∠DEC=90°，
∴AO∥DE，
∵DO=OC，EG=CG，
∴OG是△DEC的中位线，
∴ED=2OG，
设OG=x，则ED=2x，
△AOB中，∵DC=2BD，
∴BD=OD，
∴BE=AE，
∴AO=2ED=4x，
∴AG=4x-x=3x，
Rt△OGC中，CG=$\sqrt{（4x）^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{15}$x，
∵S_△AOC=$\frac{1}{2}$AO•CG=$\frac{1}{2}$OC•AH，
∴CG=AH=$\sqrt{15}$x，
∴OH=x，
∴BH=BD+DO+OH=4x+4x+x=9x，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{15}x）^{2}+（9x）^{2}}$=4$\sqrt{6}$x，
在Rt△ABH中，sinB=$\frac{AH}{AB}$=$\frac{\sqrt{15}x}{4\sqrt{6}x}$=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，
故选C．

点评 本题考查的是圆周角定理、三角函数、勾股定理、三角形的中位线定理，熟知在同圆或等圆中，直径所对的圆周角是直角，证明OG与DE分别是两三角形的中位线是解答此题的关键．