Question

【题目】如图，⊙O的直径AB=6，AD、BC是⊙O的两条切线，AD=2，BC= ．
（1）求OD、OC的长；
（2）求证：△DOC∽△OBC；
（3）求证：CD是⊙O切线．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AD、BC是⊙O的两条切线，

∴∠OAD=∠OBC=90°，

在Rt△AOD与Rt△BOC中，OA=OB=3，AD=2，BC= ，

根据勾股定理得：OD= ，OC=

（2）证明：过D作DE⊥BC，可得出∠DAB=∠ABE=∠BED=90°，

∴四边形ABED为矩形，

∴BE=AD=2，DE=AB=6，EC=BC﹣BE= ，

在Rt△EDC中，根据勾股定理得：DC= ，

∵ ，

∴△DOC∽△OBC；

（3）证明：过O作OF⊥DC，交DC于点F，

∵△DOC∽△OBC，

∴∠BCO=∠FCO，

∵在△BCO和△FCO中，

，

∴△BCO≌△FCO（AAS），

∴OB=OF，

则CD是⊙O切线．

【解析】（1）由AB的长求出OA与OB的长，根据AD，BC为圆的切线，利用切线的性质得到三角形AOD与三角形BOC都为直角三角形，利用勾股定理即可求出OD与OC的长；（2）过D作DE垂直于BC，可得出BE=AD，DE=AB，在直角三角形DEC中，利用勾股定理求出CD的长，根据三边对应成比例的三角形相似即可得证；（3）过O作OF垂直于CD，根据（2）中两三角形相似，利用相似三角形的对应角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形OCF与三角形OCB全等，由全等三角形的对应边相等得到OF=OB，即OF为圆的半径，即可确定出CD为圆O的切线．
【考点精析】利用相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．