Question

20．如图所示，M为⊙O内任意一点，AB为过点M的一条弦，且AB⊥OM，求证：
（1）AB是过M点的所有弦中最短的弦；
（2）与线段OM重合的弦是过M点的所有弦中最长的弦．

Answer 1

分析 （1）过点M随意作弦CD，交⊙O于点C、D，过点O作ON⊥CD于点N，连接OA、OC，根据直角三角形中斜边最大可得出OM＞ON，再结合垂径定理利用勾股定理即可得出AM＜CN，从而得出AB＜CD，此题得证；
（2）由（1）可得出CD=2$\sqrt{O{C}^{2}-O{N}^{2}}$，由此可得出当ON=0时，CD取最大值，此时CD为⊙O的直径，再结合点M在弦CD上即可得出结论．

解答 证明：（1）过点M随意作弦CD，交⊙O于点C、D，过点O作ON⊥CD于点N，连接OA、OC，如图1所示．
在Rt△ONM中，OM为斜边、ON为直角边，
∴OM＞ON．
∵AM=$\sqrt{O{A}^{2}-O{M}^{2}}$，CN=$\sqrt{O{C}^{2}-O{N}^{2}}$，
∴AM＜CN，
∴AB＜CD，
∴AB是过M点的所有弦中最短的弦；
（2）由（1）可知：CD=2$\sqrt{O{C}^{2}-O{N}^{2}}$，
当ON=0时，CD=2OC最大，
此时弦CD为⊙O的直径，点O在弦CD上．
∵点M在弦CD上，
∴线段OM在弦CD上．
故与线段OM重合的弦是过M点的所有弦中最长的弦．

点评 本题考查了垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，依照题意画出图形，利用数形结合是解题的关键．