Question

8．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c交x轴于点A，B，交y轴于点C，点A的坐标是（-1，0），点C的坐标是（0，2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线的上的一个动点，点N在x轴上．
①若点P在x轴上方，且△APN是等腰直角三角形，求点N的坐标；
②若点P在x轴下方，且△ANP与△BOC相似，请直接写出点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A、C两点的坐标代入函数解析式，即可得到关于b，c的方程组，从而求得b，c的值，求得函数的解析式；
（2）①首先由点P、A、B都在抛物线上，且A、B在x轴上，得出点A不可能是直角顶点，那么当△APN是等腰直角三角形时，∠PAN=45°．作∠BAP=45°，AP交抛物线于点P，设点P坐标是（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2）．再分两种情况进行讨论：Ⅰ）当点N是直角顶点时，过点P作PN₁⊥x轴于点N₁，则PN₁=AN₁，依此列出方程-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2=t+1，解方程求出N₁的坐标；Ⅱ）当点P是直角顶点时，过点P作PN₂⊥AP，PN₂交x轴于点N₂，则AP=PN₂，那么N₁N₂=AN₁=2-（-1）=3，则ON₂=2+3=5，N₂的坐标可求；
②先由抛物线解析式求出B点坐标，根据△BOC是直角三角形，得出△ANP也是直角三角形，由A点不可能是直角顶点，得出直角顶点可能是P点或N点．设点P坐标是（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2），则-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2＜0．再分两种情况进行讨论：Ⅰ）过A作BC的平行线，交抛物线于点P，则∠PAB=∠OBC．过P作PN₁⊥x轴于点N₁，则△AN₁P∽△BOC，N₁（t，0）．由△AN₁P∽△BOC，根据相似三角形对应边成比例求出t的值，得出点N₁的坐标；过点P作PN₂⊥AP，PN₂交x轴于点N₂，则△APN₂∽△BOC．由△AN₁P∽△PN₁N₂，根据相似三角形对应边成比例求出t的值，得出点N₂的坐标；Ⅱ）在x轴下方作∠BAP=∠OCB，交抛物线于点P，过P作PN₃⊥x轴于点N₃，则△AN₃P∽△COB，N₃（t，0）．由△AN₃P∽△COB，根据相似三角形对应边成比例求出t的值，得出点N₃的坐标；过点P作PN₄⊥AP，PN₄交x轴于点N₄，则△APN₄∽△COB．由△AN₃P∽△PN₃N₄，根据相似三角形对应边成比例求出t的值，得出点N₄的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c过点A（-1，0），C（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴该抛物线的解析式是：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）①∵点P、A、B都在抛物线上，且A、B在x轴上，
∴点A不可能是直角顶点，则∠PAN=45°．
如图，作∠BAP=45°，AP交抛物线于点P．设点P坐标是（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2）．
Ⅰ）当点N是直角顶点时，过点P作PN₁⊥x轴于点N₁，则PN₁=AN₁，
即-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2=t+1，
解得t₁=2，t₂=-1（不合题意舍去），
所以N₁的坐标是（2，0）；
Ⅱ）当点P是直角顶点时，过点P作PN₂⊥AP，PN₂交x轴于点N₂，则AP=PN₂，
即N₁N₂=AN₁=2-（-1）=3，
则ON₂=2+3=5，
所以N₂的坐标是（5，0）；
综上所述，点N的坐标是（2，0）或（5，0）；

②∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∴当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x=-1或4，
∵A（-1，0），
∴B（4，0），
∴△BOC中，OB=4，OC=2，∠BOC=90°．
∵△BOC是直角三角形，
∴当△ANP与△BOC相似时，△ANP也是直角三角形，
∵A点不可能是直角顶点，
∴直角顶点可能是P点或N点．
设点P坐标是（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2），则-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2＜0．
Ⅰ）过A作BC的平行线，交抛物线于点P，则∠PAB=∠OBC．
过P作PN₁⊥x轴于点N₁，则△AN₁P∽△BOC，N₁（t，0）．
∵△AN₁P∽△BOC，
∴$\frac{A{N}_{1}}{BO}$=$\frac{{N}_{1}P}{OC}$，
∴$\frac{A{N}_{1}}{{N}_{1}P}$=$\frac{BO}{OC}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴AN₁=2N₁P，即t+1=2（$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t-2），
解得t₁=5，t₂=-1（不合题意舍去），
所以点P的坐标是（5，-3），点N₁的坐标是（5，0）；
过点P作PN₂⊥AP，PN₂交x轴于点N₂，则△APN₂∽△BOC．
∵△AN₁P∽△PN₁N₂，
∴$\frac{A{N}_{1}}{P{N}_{1}}$=$\frac{P{N}_{1}}{{N}_{1}{N}_{2}}$，
∴N₁N₂=$\frac{{3}^{2}}{6}$=1.5，
∴ON₂=ON₁+N₁N₂=5+1.5=6.5，
∴点N₂的坐标是（6.5，0）；
Ⅱ）在x轴下方作∠BAP=∠OCB，交抛物线于点P，过P作PN₃⊥x轴于点N₃，则△AN₃P∽△COB，N₃（t，0）．
∵△AN₃P∽△COB，
∴$\frac{A{N}_{3}}{CO}$=$\frac{P{N}_{3}}{BO}$，
∴$\frac{A{N}_{3}}{P{N}_{3}}$=$\frac{CO}{BO}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴PN₃=2AN₃，即$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t-2=2（t+1），
解得t₁=8，t₂=-1（不合题意舍去），
所以点P的坐标是（8，-18），点N₃的坐标是（8，0）；
过点P作PN₄⊥AP，PN₄交x轴于点N₄，则△APN₄∽△COB．
∵△AN₃P∽△PN₃N₄，
∴$\frac{A{N}_{3}}{P{N}_{3}}$=$\frac{P{N}_{3}}{{N}_{3}{N}_{4}}$，
∴N₃N₄=$\frac{1{8}^{2}}{9}$=36，
∴ON₄=ON₃+N₃N₄=8+36=44，
∴点N₄的坐标是（44，0）；
综上所述，所求点N的坐标为N₁（5，0），N₂（6.5，0），N₃（8，0），N₄（44，0）．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到利用待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，有一定难度．利用数形结合、分类讨论是解题的关键．