Question

已知抛物线与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）．

（1）求D点的坐标；
（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；
（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．

Answer 1

（1）顶点D的坐标为（1，﹣4）。
（2）∠E=45°
（3）点Q的坐标为（2，﹣3）或（，）。

分析：（1）将点A的坐标代入到抛物线的解析式求得c值，然后配方后即可确定顶点D的坐标。
（2）连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，首先求得点C的坐标，然后证得△DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA，根据∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，得到∠E=∠OCB=45°。
（3）设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点，增大△DGB∽△PON后利用相似三角形的性质求得ON的长，从而求得点N的坐标，进而求得直线PQ的解析式，设Q（m，n），根据点Q在直线PQ和抛物线上，得到，求得m、n的值后即可求得点Q的坐标。
解：（1）把x=﹣1，y=0代入得：1+2+c=0，∴c=﹣3。
∴。
∴顶点D的坐标为（1，﹣4）。
（2）如图1，连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，

由解得x=﹣1或x=3，∴B（3，0）。
当x=0时，，∴C（0，﹣3）。
∴OB=OC=3。
∵∠BOC=90°，∴∠OCB=45°，BC=。
又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，
∴∠FCD=45°，CD=。
∴∠BCD=180°﹣∠OCB﹣∠FCD=90°
∴∠BCD=∠COA。
又∵，∴△DCB∽△AOC。
又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，∴∠E=∠OCB=45°。
（3）如图2，设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点，

∵∠PMA=45°，∴∠EMH=45°。∴∠MHE=90°。
∴∠PHB=90°。∴∠DBG+∠OPN=90°。
又∵∠ONP+∠OPN=90°，∴∠DBG=∠ONP。
又∵∠DGB=∠PON=90°，∴△DGB=∠PON=90°。
∴△DGB∽△PON。
∴，即，解得ON=2。
∴N（0，﹣2）。
设直线PQ的解析式为y=kx+b，
则，解得：。
∴直线PQ的解析式为。
设Q（m，n）且n＜0，∴。
又∵Q（m，n）在上，∴。
∴，解得：m=2或m=。
∴n=﹣3或n=。
∴点Q的坐标为（2，﹣3）或（，）。