Question

【题目】在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．

（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；

（2）若Rt△AQP≌Rt△ACP≌Rt△BQP，求tanB的值；

（3）已知AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析;（2）; （3）当BP=时，△APQ的面积最大，最大值是；

【解析】试题分析：（1）直接证明∠C=∠PQB=90°，而∠B=∠B，即可根据两角对应相等的两三角形相似；

（2）分别根据全等三角形的性质，求出AQ=QB=AC，然后根据锐角三角形函数的性质求出tanB的值;

（3）利用勾股定理求出AB的值，然后根据相似三角形的性质列出比例式求出PQ、BQ，再根据三角形的面积公式求出△AQP面积，根据二次函数的性质和配方法解答即可．

试题解析：（1）不论点P在BC边上何处时，都有

∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B

∴△PBQ∽△ABC；

（2）∵Rt△AQP≌Rt△ACP∴AQ=AC

又Rt△AQP≌Rt△BQP ∴AQ=QB

∴AQ=QB=AC

∴∠B=

∴

（3）设BP=x（0＜x＜4），由勾股定理，得 AB=5

∵由（1）知，△PBQ∽△ABC，

∴，即 ∴

S△APQ===

∴当时，△APQ的面积最大，最大值是；