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15.如图,抛物线y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+mx+n与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(-1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;
(2)线段BC上有一动点P,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值.

分析 (1)利用待定系数法求出二次函数解析式即可;
(2)根据抛物线的解析式求得B点的坐标,然后根据待定系数法求得直线BC的解析式,设P(m,-$\frac{1}{2}$m+2);则Q(m,-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{3}{2}$m+2),进而表示出PQ的长度,利用二次函数的最值求出即可.

解答 解:(1)抛物线y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+mx+n与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,A(-1,0),C(0,2).
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-m+n=0}\\{n=2}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$,
故抛物线解析式为:y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2;
(2)令y=0,则-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2=0,解得x1=-1,x2=4,
∴B(4,0),
设直线BC的解析式为y=kx+b,
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$,
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2,
设P(m,-$\frac{1}{2}$m+2);则Q(m,-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{3}{2}$m+2),
则PQ=(-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{3}{2}$m+2)-(-$\frac{1}{2}$m+2)=-$\frac{1}{2}$m2+2m=-$\frac{1}{2}$(m-2) 2+2,
此时PQ的最大值为2.

点评 此题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式,二次函数的解析式和二次函数的最值问题,求得解析式是解题关键.

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