Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.

(1) 结合图形，请你写出你认为正确的结论；

(2) 过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F. 请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关系；

(3) 若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？若有，请写出所有的等腰三角形，若没有，请说明理由；线段EF、BE、FC之间，上面探究的结论是否还成立？

Answer 1

【答案】（1）结论：∠ABO=∠CBO=∠ACO=∠BCO（本题结论不唯一，正确即可），理由详见解析；（2）等腰三角形有：△ABC、△AEF，△BEO，△COF，△BOC；EF、BE、FC之间的关系EF=BE+CF， 理由详见解析；（3）图中的等腰三角形有：△BEO，△COF ；结论仍然成立，理由详见解析.

【解析】

（1））结论：∠ABO=∠CBO=∠ACO=∠BCO，根据等腰三角形的性质及角平分线的定义即可证明（本题答案不唯一）；（2）等腰三角形有：△ABC、△AEF，△BEO，△COF，△BOC；EF、BE、FC之间的关系EF=BE+CF，由（1）可得，△ABC、△BOC是等腰三角形；由平行线的性质及等腰三角形的性质与判定即可证得△AEF是等腰三角形；由平行线的性质及角平分线的定义即可证得△BEO，△COF是等腰三角形，EF=BE+CF；（2）图中的等腰三角形有：△BEO，△COF ；结论仍然成立，类比（2）的方法证明即可.

（1）结论：∠ABO=∠CBO=∠ACO=∠BCO，理由如下：

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．

∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，

∴∠ABO=∠CBO=∠ACO=∠BCO．

（2）等腰三角形有：△ABC、△AEF，△BEO，△COF，△BOC；EF、BE、FC之间的关系EF=BE+CF， 理由如下：

由（1）可得，△ABC、△BOC是等腰三角形；

∵EF∥BC，

∴∠ABC=∠AEF，∠AFE=∠ACB,

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠AEF=∠AFE，

∴AE=AF,

即△AEF是等腰三角形；

∵BO平分∠ABC，

∴∠EBO=∠OBC；

∵EF∥BC，

∴∠OBC=∠EOB，

∴∠EBO=∠EOB；

∴EO=BE，

∴△BEO是等腰三角形；

同理可得OF=FC，

∴△COF是等腰三角形；

∴EO+OF=BE+FC，

即EF=BE+CF．

（3）图中的等腰三角形有：△BEO，△COF ；结论仍然成立，理由如下：

∵BO平分∠ABC，

∴∠EBO=∠OBC；

∵EF∥BC，

∴∠OBC=∠EOB，

∴∠EBO=∠EOB；

∴EO=BE，

∴△BEO是等腰三角形；

同理可得OF=FC，

∴△COF是等腰三角形；

∴EO+OF=BE+FC，

即EF=BE+CF．