Question

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为-1和3，与y轴交点C的纵坐标为3，△ABC的外接圆的圆心为点M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意即可得出A、B、C三点的坐标，可通过待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）本题的关键是求出M点的坐标，可如果设圆M与y轴的另一交点为D，那么可根据相交弦定理求出OD的长，进而可求出M点的纵坐标，同理可求出M的横坐标，得出M的坐标后可用待定系数法求出直线MA的解析式．
（3）本题要分情况进行讨论：
①当EF∥CA时，△ABC∽△EBF，可根据两直线平行得出直线EF的斜率与直线AC的相同，然后根据直线EF过M点，即可求出直线EF的解析式，然后联立抛物线即可求出它们的交点P的坐标．
②当∠BFE=∠A时，△ABC∽△FBE，思路同①，可通过构建相似三角形来求E点的坐标以得出直线EF的解析式．可过A作AG⊥BC于G，过M作MH⊥AB于H，那么通过相似三角形AGC和MHE可求出E点的坐标，然后同①的方法进行求解即可．

解答：解：（1）由题意可知：A（-1，0），B（3，0），C（0，3）
可得抛物线的解析式为y=-x²+2x+3

（2）设y轴于圆M的另一交点为D，根据相交弦定理可得出OD=OA•OB÷OC=1
由此可求得M点的纵坐标为1
同理可求出M点的横坐标为1
∴M的坐标为（1，1）
设过A、M点的直线解析式为y=kx+b，有
k+b=1，-k+b=0
∴k=

1

2

，b=

1

2

直线解析式为：y=

1

2

x+

1

2

（3）在（1）中的抛物线上存在点P
使△BEF与△ABC相似．
①若△BEF∽△ABC，则EF∥AC
∵直线AC为：y=3x+3
∴设直线EF为：y=3x+b₁过m（1，1）
∴直线EF为：y=3x-2
点P的坐标满足y=3x-2，y=-x²+2x+3
解之x₁=-

1

2

+

21

2

，x₂=-

1

2

-

21

2

y₁=-

7

2

+

3 21

2

，y₂=-

7

2

-

3 21

2

所以P₁（-

1

2

+

21

2

，-

7

2

+

3 21

2

），P₂（-

1

2

-

21

2

，-

7

2

-

3 21

2

）
②若△BEF∽△ABC，则∠ACG=∠MEH
过点A作AG⊥BC于G，有∠AGC=∠MEH
∴△ACG∽△MEH
其中AC=

10

，CG=

2

，AG=2

2

，MH=1
∵AG：CG=MH：HE，即2

2

：

2

=1：HE
∴HE=

1

2

，E的坐标为（

1

2

，0）
直线EM解析式为：y=2x-1
同理可得：P₃（2，3），P_4（-2，-5）
综上所述：P₁（-

1

2

+

21

2

，-

7

2

+

3 21

2

），P₂（-

1

2

-

21

2

，-

7

2

-

3 21

2

），P₃（2，3），P₄（-2，-5）．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质等重要知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．