Question

如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，点D为BD的中点，且OA平分∠BAC．
（1）求证：OC平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）求证：AB+CD=AC．

Answer 1

分析：（1）过点O作OE⊥AC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB=OE，从而求出OE=OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；
（2）利用“HL”证明△ABO和△AEO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，然后求出∠AOC=90°，再根据垂直的定义即可证明；
（3）根据全等三角形对应边相等可得AB=AE，CD=CE，然后证明即可．

解答：证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，
∴OB=OE，
∵点O为BD的中点，
∴OB=OD，
∴OE=OD，
∴OC平分∠ACD；

（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，

AO=AO OE=OB

，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB=∠AOE，
同理求出∠COD=∠COE，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=

1

2

×180°=90°，
∴OA⊥OC；

（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB=AE，
同理可得CD=CE，
∵AC=AE+CE，
∴AB+CD=AC．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，以及全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．