Question

【题目】如图，已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、F分别是AB、AD上两个动点，若AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG，与BD相交于H。

（1）求∠BGE的大小；（2）求证：GC平分∠BGD．

Answer 1

【答案】（1）∠BGE=60°；（2）见解析.

【解析】

（1）由题意可证△ADB是等边三角形，可得AD=AB=BD，∠DAB=∠ADB=∠ABD，由“SAS”可证△ADE≌△DBF，可得∠ADE=∠DBF，由三角形外角性质可求∠BGE的大小；

（2）过点C作CN⊥BF于点N，过点C作CM⊥ED于点M，由“AAS”可证Rt△CBN≌Rt△CDM，可得CM=CN，由角平分线的性质可得结论．

（1）∵ABCD为菱形,

∴AB＝AD．

∵∠BAD＝60°，

∴△ABD为等边三角形．

∴∠A=∠BDF=60°．

又∵AE＝DF，AD＝BD,

∴△AED≌△DFB；

∴∠DBG＝∠ADE

∴∠EGB＝∠DBG＋∠BDG＝∠ADE＋∠BDG＝∠ADB＝60°

（2）如图，过点C作CN⊥BF于点N，过点C作CM⊥ED于点M，

由（1）得∠ADE=∠DBF

∴∠CBF=60°+∠DBF

=60°+∠ADE

=∠DEB

又∠DEB=∠MDC

∴∠CBF=∠CDM

∵BC=CD，∠CBF=∠CDM，∠CMD=∠CNG=90°

∴Rt△CBN≌Rt△CDM（AAS）

∴CN=CM，且CN⊥BF，CM⊥ED

∴点C在∠BGD的平分线上

即GC平分∠BGD.