Question

【题目】已知，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点D为优弧BC的中点

（1）如图1，连接OD，求证：AB∥OD；

（2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E．若AE＝3，BC＝8，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）如图1，延长DO交BC于F，根据垂径定理得到DF⊥BC，根据圆周角定理得到AB⊥BC根据平行线的判定定理即可得到AB∥OD；
（2）连接DO并延长交BC于F，由垂径定理得到DF⊥CB，求得CF=BC=4，根据全等三角形的性质得到OF=OE=OA-3，根据勾股定理即可得到结论．

（1）如图1，延长DO交BC于F，

∵点D为优弧BC的中点，
∴弧BD=弧CD，
∴DF⊥BC，
∵AC为⊙O的直径，
∴AB⊥BC，
∴AB∥OD；
（2）连接DO并延长交BC于F，
∵点D为优弧BC的中点，
∴弧BD=弧CD，
∴DF⊥CB，
∴CF=BC=4，
∵DE⊥AC，
∴∠DEO=∠OFC=90°，
∵∠DOE=∠COF，OC=OD，
∴△DOE≌△COF（AAS），
∴OF=OE=OA-3，
∵OC2=OF2+CF2，
∴OC2=（OC-3）2+42，
∴OC=，
∴⊙O的半径为．