Question

已知：关于x的一元二次方程：x²-2mx+m²-4=0．
（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；
（2）当抛物线y=x²-2mx+m²-4与x轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形C₁，将图形C₁向右平移一个单位，得到图形C₂，当直线y=x+b（b＜1）与图形C₂恰有两个公共点时，写出b的取值范围．

Answer 1

（1）证明∵△=（-2m）²-4（m²-4）=16＞0．
∴该方程总有两个不相等的实数根．

（2）由题意可知y轴是抛物线的对称轴，
故-2m=0，
解得m=0．
∴此抛物线的解析式为y=x²-4．

（3）如图，当直线y=x+b经过A（-1，0）时-1+b=0，可得b=1，又因为b＜1，
故可知y=x+b在y=x+1的下方，
当直线y=x+b经过点B（3，0）时，3+b=0，则b=-3，
由图可知符合题意的b的取值范围为-3＜b＜1时，直线y=x+b；（b＜3）与此图象有两个公共点．
分析：（1）根据要证方程有两个不相等的实数根，只要证出△=b²-4ac＞0，即可得出答案；
（2）利用二次函数的对称性得出对称轴是y轴，进而得出m的值即可；
（3）画出翻转后新的函数图象，由直线y=x+b，b＜1确定出直线移动的范围，求出b的取值范围．
点评：本题考查了根的判别式以及二次函数的对称性和由函数图象确定坐标、直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想．