Question

（1）如图1，抛物线C₁：y=ax²+bx+c的开口向下，顶点为D点，与y轴交于点，且经过A（-1，0），B（3，0）两点，若△ABD的面积为8．
①求抛物线C₁的解析式；
②Q是抛物线C₁上的一个动点，当△QBC的内心落在x轴上时，求此时点Q的坐标；
（2）如图2，将（1）中的抛物线C₁向右平移t（t＞0）个单位长度，得到抛物线C₂，顶点为E，抛物线C₁、C₂相交于P点，设△PDE的面积为S，判断是否为定值？请说明理由．

Answer 1

解：（1）①∵抛物线C₁经过A（-1，0），B（3，0）两点，
∴y=a（x+1）（x+3）=a（x-1）²-4a，（1分）
∴D（1，-4a），
∵AB=4，S_△ABD=8，
∴-4a=4，
∴a=-1，（2分）
所以抛物线C₁为：y=-x²+2x+3，（3分）
②点C（0，3），
∵OC=OB=3，∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°，
过B作∠ABQ=45°交y轴于M，交抛物线C₁于Q点，
则△QBC的内心落在x轴上，（4分）．
如图1：M（-3，0），直线BQ为：y=x-3，（5分）
设Q（n，-n²+2n+3），则-n²+2n+3=n-3，（6分）
解得：n₁=-2，n₂=3，（不合题意舍去）
所以Q（-2，-5）；（7分）


（2）过P作PN∥x轴与抛物线C₁另一交点记为N，连接DN，过P作直线PH⊥DE于H，
如图2：由平移得：DN与PE平行且相等
由抛物线的对称性得：PD=DN，
∴PD=DE，△PDE是等腰三角形（8分）
（注：没有证等腰不扣分）
∴点H是DE的中点，
∴H（t+1，4），（9分）
当x=t+1时，y=-t²+4，
∴P（t+1，-t²+4），（10分）
∴PH=4-（-t²+4）=t²，（11分）
又∵DE=t，
∴为定值．（12分）
分析：（1）①由抛物线C₁经过A（-1，0），B（3，0）两点，即可采用两点法设抛物线C₁的解析式为y=a（x+1）（x+3），又由AB=4，S_△ABD=8，即可求得a的值，求得抛物线C₁的解析式；
②首先由OC=OB=3，∠BOC=90°，求得∠OBC的度数，然后过B作∠ABQ=45°交x轴于M，交抛物线C₁于Q点，即可求得直线BQ的解析式，然后借助于方程即可求得点Q的坐标；
（2）首先过P作PN∥x轴与抛物线C₁另一交点记为N，连接DN，过P作直线PH⊥DE于H，由平移，易证得△PDE是等腰三角形，然后由点H是DE的中点，求得H与P的坐标，则问题得解．
点评：此题考查了二次函数的综合应用，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度很大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．