【题目】在平面直角坐标系中,点Q为坐标系上任意一点,某图形上的所有点在∠Q的内部(含角的边),这时我们把∠Q的最小角叫做该图形的视角.如图1,矩形ABCD,作射线OA,OB,则称∠AOB为矩形ABCD的视角.
(1)如图1,矩形ABCD,A(﹣ ,1),B( ,1),C( ,3),D(﹣ ,3),直接写出视角∠AOB的度数;
(2)在(1)的条件下,在射线CB上有一点Q,使得矩形ABCD的视角∠AQB=60°,求点Q的坐标;
(3)如图2,⊙P的半径为1,点P(1, ),点Q在x轴上,且⊙P的视角∠EQF的度数大于60°,若Q(a,0),求a的取值范围.
【答案】
(1)解:如图1中,设AB交y轴于E.
∵A(﹣ ,1),B( ,1),
∴OE⊥AB,EA=EB,
∴OA=OB,
在Rt△OAE中,tan∠OAE= ,
∴∠OAB=∠OBA=30°,
∴∠AOB=120°
(2)解:如图2中,连结AC,在射线CB上截取CQ=CA,连结AQ.
∵AB=2 ,BC=2,
∴AC=4,
∴∠ACQ=60°.
∴△ACQ为等边三角形,
即∠AQC=60°,
∵CQ=AC=4,
∴Q( ,﹣1)
(3)解:如图3中,当点Q与点O重合时,设⊙P与y轴相切于点E,OF是⊙P的切线,
∵P(1, ),
∴PE=1,OE= ,
∴tan∠POE= ,
∴∠POE=∠POF=30°
∴∠EQF=60°,此时Q(0,0),
如图4,根据对称性可知,当FQ⊥x轴时,∠EQF=60°,
∴Q(2,0),
∴a的取值范围是0<a<2.
【解析】(1)如图1中,设AB交y轴于E.首先证明OA=OB,在Rt△AEO中,求出∠OAE的度数即可.(2)如图2中,连结AC,在射线CB上截取CQ=CA,连结AQ.只要证明△ACQ是等边三角形即可解决问题.(3)如图3中,当点Q与点O重合时,设⊙P与y轴相切于点E,OF是⊙P的切线,可以证明∠EQF=60°,此时Q(0,0),如图4,根据对称性可知,当FQ⊥x轴时,∠EQF=60°,此时Q(2,0),由此即可解决问题.
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【题目】如图,某班参加课外活动的总共有30人,跳绳的人数占30%,表示踢毽的扇形圆心角是60°,踢毽和打篮球的人数比是1:2,那么参加“其它”活动的人数有________人.
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【题目】AQI是空气质量指数(Air Quality Index)的简称,是描述空气质量状况的指数.其数值越大说明空气污染状况越严重,对人体的健康危害也就越大.AQI共分六级,空气污染指数为0﹣50一级优,51﹣100二级良,101﹣150三级轻度污染,151﹣200四级中度污染,201﹣300五级重度污染,大于300六级严重污染.小明查阅了2015年和2016年某市全年的AQI指数,并绘制了如下统计图,并得出以下结论:①2016年重度污染的天数比2015年有所减少;②2016年空气质量优良的天数比2015年有所增加;③2015年和2016年AQI指数的中位数都集中在51﹣100这一档中;④2016年中度污染的天数比2015年多13天.以上结论正确的是( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
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【题目】如图(1)我们知道等腰直角三角形的三边的比AC:BC:AB=1:1: ,含有30度的直角三角形的三边之比AC:BC:AB=1∶∶2.如图(2),分别取反比例函数, 图象的一支,Rt△AOB中,OA⊥OB,OA=OB=2,AB交y轴于C,∠AOC=60°,点A,点B分别在这两个图像上。
(1)填空: K1=-__________,K2=______________.
(2)将△AOC沿y轴折叠得△DOC,如图所示。
①试判断D点是否存在的图象上,并说明理由.
②在y轴上找一点N,使得|BN-DN|的值最大,求出点N的坐标。
③连接BD,求S四边形OCBD.
(3)将Rt△AOB绕着原点顺时针旋转一周,速度是5°/秒。问:经过多少秒,直线AB与图中分支的对称轴或者与图中分支的对称轴平行。直接写出结果。
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【题目】有这样一个问题:探究函数y=﹣ +|x|的图象与性质. 小军根据学习函数的经验,对函数y=﹣ +|x|的图象与性质进行了探究.
下面是小军的探究过程,请补充完整:
(1)函数y=﹣ +|x|的自变量x的取值范围是;
(2)表是y与x的几组对应值
x | ﹣2 | ﹣1.9 | ﹣1.5 | ﹣1 | ﹣0.5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
y | 2 | 1.60 | 0.80 | 0 | ﹣0.72 | ﹣1.41 | ﹣0.37 | 0 | 0.76 | 1.55 | … |
在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点,画出该函数的图象;
(3)观察图象,函数的最小值是;
(4)进一步探究,结合函数的图象,写出该函数的一条性质(函数最小值除外): .
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【题目】某兴趣小组10名学生在一次数学测试中的成绩如表(满分150分)
分数(单位:分) | 105 | 130 | 140 | 150 |
人数(单位:人) | 2 | 4 | 3 | 1 |
下列说法中,不正确的是( )
A.这组数据的众数是130
B.这组数据的中位数是130
C.这组数据的平均数是130
D.这组数据的方差是112.5
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【题目】【问题情境】
如图1,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.
【探究展示】
(1)证明:AM=AD+MC;
(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
【拓展延伸】
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图2,探究展示(1)、(2)中的结论是否成立?请分别作出判断,不需要证明.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M、N分别是AD、BC的中点,BC=2CD.
(1)求证:四边形MNCD是平行四边形;
(2)求证:BD=MN.
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