Question

【题目】为迎接中国森博会，某商家计划从厂家采购A，B两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．

采购数量（件）	1	2	…
A产品单价（元/件）	1480	1460	…
B产品单价（元/件）	1290	1280	…

（1）设A产品的采购数量为x（件），采购单价为y1（元/件），求y1与x的关系式；
（2）经商家与厂家协商，采购A产品的数量不少于B产品数量的 ，且A产品采购单价不低于1200元，求该商家共有几种进货方案；
（3）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A，B两种产品，且全部售完，在（2）的条件下，求采购A种产品多少件时总利润最大，并求最大利润．

Answer 1

【答案】
（1）解：设y1与x的关系式y1=kx+b，

由表知 ，

解得k=﹣20，b=1500，

即y1=﹣20x+1500（0＜x≤20，x为整数）

（2）解：根据题意可得

，

解得11≤x≤15，

∵x为整数，

∴x可取的值为：11，12，13，14，15，

∴该商家共有5种进货方案

（3）解：解法一：y2=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，

令总利润为W，

则W=（1760﹣y1）x+（20﹣x）×[1700﹣（10x+1100）]=30x2﹣540x+12000，

=30（x﹣9）2+9570，

∵a=30＞0，

∴当x≥9时，W随x的增大而增大，

∵11≤x≤15，

∴当x=15时，W最大=10650；

解法二：根据题意可得B产品的采购单价可表示为：

y2=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，

则A、B两种产品的每件利润可分别表示为：

1760﹣y1=20x+260，

1700﹣y2=﹣10x+600，

则当20x+260＞﹣10x+600时，A产品的利润高于B产品的利润，

即x＞ =11 时，A产品越多，总利润越高，

∵11≤x≤15，

∴当x=15时，总利润最高，

此时的总利润为（20×15+260）×15+（﹣10×15+600）×5=10650．

答：采购A种产品15件时总利润最大，最大利润为10650元．

【解析】（1）设y1与x的关系式y1=kx+b，由表列出k和b的二元一次方程，求出k和b的值，函数关系式即可求出；（2）首先根据题意求出x的取值范围，结合x为整数，即可判断出商家的几种进货方案；（3）令总利润为W，根据利润=售价﹣成本列出W与x的函数关系式W=30x2﹣540x+12000，把一般式写成顶点坐标式，求出二次函数的最值即可．