Question

3．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A、B，与直线AC：y=-x-6交y轴于点C，点D是抛物线的顶点，且横坐标为-2．
（1）求出抛物线的解析式．
（2）判断△ACD的形状，并说明理由．
（3）直线AD交y轴于点F，在线段AD上是否存在一点P，使∠ADC=∠PCF？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先由直线AC的解析式为y=-x-6，可得A（-6，0），C（0，-6），再根据抛物线的对称性求出B（2，0）．然后把A、B、C三点坐标分别代入y=ax²+bx+c，利用待定系数法即可求解；
（2）先求出抛物线顶点D的坐标，再根据两点间的距离公式计算得出AC²=6²+6²=72，CD²=2²+（-8+6）²=8，AD²=（-2+6）²+8²=80，那么AC²+CD²=AD²，利用勾股定理的逆定理即可得到△ACD是直角三角形；
（3）先利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=-2x-12，得到F（0，-12），设点P的坐标为（x，-2x-12）．由∠ADC=∠DCF+∠DFC，∠PCF=∠DCF+∠PCD，∠ADC=∠PCF，可得∠DFC=∠PCD．根据两角对应相等的两三角形相似证明△CPD∽△FPC，那么$\frac{CP}{FP}$=$\frac{CD}{FC}$，依此列出比例式$\frac{{x}^{2}+（-2x-12+6）^{2}}{{x}^{2}+（2x）^{2}}$=$\frac{8}{{6}^{2}}$，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标．

解答 解：（1）由直线AC：y=-x-6，可得A（-6，0），C（0，-6），
∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A、B，抛物线的顶点D的横坐标为-2，
∴B（2，0）．
把A、B、C三点坐标分别代入y=ax²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=2}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+2x-6；

（2）△ACD是直角三角形，理由如下：
∵y=$\frac{1}{2}$x²+2x-6=$\frac{1}{2}$（x+2）²-8，
∴顶点D的坐标是（-2，-8）．
∵A（-6，0），C（0，-6），
∴AC²=6²+6²=72，CD²=2²+（-8+6）²=8，AD²=（-2+6）²+8²=80，
∴AC²+CD²=AD²，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°；

（3）假设在线段AD上存在一点P，使∠ADC=∠PCF．
设直线AD的解析式为y=mx+n，
∵A（-6，0），D（-2，-8），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-6m+n=0}\\{-2m+n=-8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-12}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=-2x-12，
∴F点坐标为（0，-12），设点P的坐标为（x，-2x-12）．
∵∠ADC=∠DCF+∠DFC，∠PCF=∠DCF+∠PCD，∠ADC=∠PCF，
∴∠DFC=∠PCD．
在△CPD与△FPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCD=∠PFC}\\{∠CPD=∠FPC}\end{array}\right.$，
∴△CPD∽△FPC，
∴$\frac{CP}{FP}$=$\frac{CD}{FC}$，
∴$\frac{{x}^{2}+（-2x-12+6）^{2}}{{x}^{2}+（2x）^{2}}$=$\frac{8}{{6}^{2}}$，
整理得，35x²+216x+324=0，
解得x₁=-$\frac{18}{7}$，x₂=-$\frac{18}{5}$（舍去），
当x=-$\frac{18}{7}$时，-2x-12=-2×（-$\frac{18}{7}$）-12=-$\frac{48}{7}$，
故所求点P的坐标为（-$\frac{18}{7}$，-$\frac{48}{7}$）．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合、方程思想是解题的关键．