Question

14．已知，如图1，正方形ABCD边长为1，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转α°，后得到正方形AB′C′D′（0°＜α＜90°），C′D′与直线CD相交于点E，C′B′与直线CD相交于点F．
（1）试猜想∠EAF=45°°；△EC′F的周长为2．
（2）如图2，连接B′D′分别交AE、AF于P，Q两点，在旋转过程中，若D′P=a，QB′=b，试用a，b来表示PQ，并说明理由．
（3）如图3，当旋转角等于45°时，求△APQ的面积．

Answer 1

分析 （1）利用HL判断出Rt△AD'E≌Rt△ADE，得出D'E=DE，∠D'AE=∠DAE，同理：B'F=DF，∠B'AF=∠DAF，即可得出结论；
（2）利用正方形的性质直接求出B'D'，即可得出PQ=$\sqrt{2}$-a-b；
（3）先判断出∠D'AP=∠DAP=∠B'AQ=∠DAQ=22.5°，利用角平分线定理得出PD'=$\sqrt{2}$PH即可求出PH进而得到PQ，最后用三角形的面积公式即可．

解答 解：（1）∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转α°，后得到正方形AB′C′D′，
∴∠D'AB'=∠D'=∠ADE=90°，AD'=AD=C'D'=B'C'=1
在Rt△AD'E和Rt△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD'=AD}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AD'E≌Rt△ADE，
∴D'E=DE，∠D'AE=∠DAE，
同理：B'F=DF，∠B'AF=∠DAF，
∴∠EAF=∠DAE+∠DAF=$\frac{1}{2}$∠B'AD'=45°，
△EC′F的周长为C'E+EF+C'F=C'E+DE+DF+C'F=C'E+D'E+B'F+C'F=C'D+B'C'=2，
故答案为：45°，2；
（2）∵B'D'是正方形AB'C'D'的对角线，
∴B'D'=$\sqrt{2}$，
∵D′P=a，QB′=b
∴PQ=B'D'-D'P-B'Q=$\sqrt{2}$-a-b；
（3）如图3，
当旋转角等于45°时，AH=D'H=B'H=$\frac{1}{2}$B'D'=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由（1）知，∠D'AP=∠DAP，∠B'AQ=∠DAQ，
当旋转角等于45°时，则有∠B'AD=∠D'AD=45°，
∴∠D'AP=∠DAP=∠B'AQ=∠DAQ=22.5°，
∴PD'=QB'，PH=PQ，
根据角平分线定理：$\frac{PD'}{PH}=\frac{AD'}{AH}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴PD'=$\sqrt{2}$PH，
∴D'H=PD'+PH=$\sqrt{2}$PH+PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴PH=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，
∴PQ=2PH=2-$\sqrt{2}$，
∴S△APQ=$\frac{1}{2}$×PQ×AH=$\frac{1}{2}$×（2-$\sqrt{2}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定理，解本题的关键是得出∠EAF=45°，难点是用角平分线定理求出PH．