Question

直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1，BC=

5

，点E是一腰CD的中点，BE的延长线与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：DF=CB；
（2）连接BD、CF，当AB=

 

时，四边形BCFD是菱形？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据平行线的性质得出∠DFE=∠CBE，根据AAS推出△DFE≌△CBE即可；
（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形，根据勾股定理求出BD=BC即可．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DFE=∠CBE，
又∵∠DEF=∠CEB，DE=CE，
∴△DFE≌△CBE（AAS），
∴DF=CB．

（2）解：当AB=2时，四边形BCFD是菱形，
理由如下：由（1）知：DF=BC，DF∥BC，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∵∠A=90°，AD=1，
∴当AB=2时，BD=

22+12

=

5

=BC，
∴?BCFD是菱形．
故答案为：2．

点评：本题主要考查对直角梯形的性质，平行线的性质，勾股定理，菱形的判定，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．