Question

如图，第一象限内的点A在一反比例函数的图象上，过A作AB⊥x轴，垂足为B，连接AO，已知△AOB的面积为4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点A的纵坐标为4，过点A的直线与x轴交于P，且△APB与△AOB相似，求所有符合条件的点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P、O、A的抛物线能否由抛物线y=

1

4

x2经过平移得到？若能，请说明由抛物线y=

1

4

x2如何平移得到；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用反比例函数的性质即可得出k的值，即可得出答案；
（2）首先得出A点的坐标，再利用当△ABP∽△ABO时，以及当△PBA∽△ABO时，分别求出即可；
（3）根据当点P坐标是（4，0）或（10，0）时，抛物线的开口向下，不能由y=

1

4

x2的图象平移得到，当点P坐标是（-6，0）时，求出二次函数解析式即可得出平移过程．

解答：解：（1）设反比例函数的解析式为y=

k

x

，
点A的坐标为（x，y），
∵S_△AOB=4，
∴

1

2

xy=4，
∴xy=8，
∴y=

8

x

；

（2）由题意得A（2，4），
∴B（2，0），
∵点P在x轴上，设P点坐标为（x，0），
∴∠ABO=∠ABP=90°，
∴△ABP与△ABO相似有两种情况：
①当△ABP∽△ABO时，
有

AB

AB

=

BP

BO

，
∴BP=BO=2，
∴P（4，0），
②当△PBA∽△ABO时，
有

BA

BO

=

PB

AB

，
即

4

2

=

PB

4

，
∴PB=8，
∴P（10，0）或P（-6，0）；
∴符合条件的点P坐标是（4，0）或（10，0）或（-6，0）；

（3）当点P坐标是（4，0）或（10，0）时，抛物线的开口向下，
∴不能由y=

1

4

x2的图象平移得到，
当点P坐标是（-6，0）时，设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线过点P（-6，0）、A（2，4）与O（0，0），
∴a=

1

4

，b=

3

2

，c=0，
∴y=

1

4

x2+

3

2

x，
∴y=

1

4

(x+3)2-

9

4

，
∴该抛物线可以由y=

1

4

x2向左平移3个单位，向下平移

9

4

个单位平移得到．

点评：此题主要考查了反比例函数的性质以及相似三角形的性质以及二次函数的平移等知识，相似三角形的判定与性质经常与二次函数综合应用，同学们应特别注意．