Question

2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且DE=DC．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，BC=$\sqrt{10}$，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，欲证明CF是⊙O的切线，只要证明∠OCF=90°．
（2）作DH⊥AC于H，由△AEO∽△ABC，得$\frac{AO}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$求出AE，EC，再根据sin∠A=sin∠EDH，得到$\frac{BC}{AB}$=$\frac{EH}{DE}$，求出DE即可．

解答 证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∵OD⊥AB，
∴∠A+∠AEO=90°，
∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，

∵∠AEO=∠DEC，
∴∠AEO=∠DCE，
∴∠OCE+∠DCE=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O切线．
（2）作DH⊥AC于H，则∠EDH=∠A，
∵DE=DC，
∴EH=HC=$\frac{1}{2}$EC，
∵⊙O的半径为5，BC=$\sqrt{10}$，
∴AB=10，AC=3$\sqrt{10}$，
∵△AEO∽△ABC，
∴$\frac{AO}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴AE=$\frac{5×10}{3\sqrt{10}}$=$\frac{5\sqrt{10}}{3}$，
∴EC=AC-AE=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，
∴EH=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
∵∠EDH=∠A，
∴sin∠A=sin∠EDH，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{EH}{DE}$，
∴DE=$\frac{AB•EH}{BC}$=$\frac{10×\frac{2\sqrt{10}}{3}}{\sqrt{10}}$=$\frac{20}{3}$．，

点评 本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形，属于中考常考题型．