Question

（2013•海淀区一模）在△ABC中，∠ACB=90°．经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于∠ABC，分别过点C、点A作直线l的垂线，垂足分别为点D、点E．
（1）若∠ABC=45°，CD=1（如图），则AE的长为

2

；
（2）写出线段AE、CD之间的数量关系，并加以证明；
（3）若直线CE、AB交于点F，

CF

EF

=

5

6

，CD=4，求BD的长．

Answer 1

分析：（1）首先在直角三角形CDB中利用CD求得BC，然后在直角三角形ABC中求得AE即可；
（2）根据上题得到的结论猜想两条线段之间具有二倍关系，证得△GCD∽△GAE后即可证明猜想正确．
（3）分当点F在线段AB上时和点F在线段BA的延长线上时利用△AGH∽△AEB求得线段BD的长即可．

解答：（1）解：∵∠ABC=45°，
∴∠CBD=45°，
∵CD=1，
∴BC=

2

，
∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，
AE=2．

（2）线段AE、CD之间的数量关系为AE=2CD．
证明：如图1，延长AC与直线l交于点G．
依题意，可得∠1=∠2．
∵∠ACB=90°，
∴∠3=∠4．
∴BA=BG．∴CA=CG．…（3分）
∵AE⊥l，CD⊥l，
∴CD∥AE．
∴△GCD∽△GAE．
∴

CD

AE

 = 

GC

GA

=

1

2

．
∴AE=2CD．

（3）解：当点F在线段AB上时，如图2，
过点C作CG∥l交AB于点H，交AE于点G．
∴∠2=∠HCB．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠HCB．
∴CH=BH．
∵∠ACB=90°，
∴∠3+∠1=∠HCB+∠4=90°．
∴∠3=∠4．
∴CH=AH=BH．
∵CG∥l，
∴△FCH∽△FEB．
∴

CF

EF

 = 

CH

EB

=

5

6

．
设CH=5x，BE=6x，则AB=10x．
∴在△AEB中，∠AEB=90°，AE=8x．
由（2）得，AE=2CD．
∵CD=4，
∴AE=8．
∴x=1．
∴AB=10，BE=6，CH=5．
∵CG∥l，
∴△AGH∽△AEB．
∴

HG

BE

=

AH

AB

=

1

2

．
∴HG=3．…（5分）
∴CG=CH+HG=8．
∵CG∥l，CD∥AE，
∴四边形CDEG为平行四边形．
∴DE=CG=8．
∴BD=DE-BE=2．…（6分）
当点F在线段BA的延长线上时，如图3，
同理可得CH=5，GH=3，BE=6．
∴DE=CG=CH-HG=2．
∴BD=DE+BE=8．
∴BD=2或8．

点评：本题考查了相似形综合知识，题目中还涉及到了相似三角形的判定与性质及解直角三角形的知识，难度较大，此类题目应重点掌握．