Question

2．如图，正五边形ABCDEF与正方形ACMHG共点于A，连接BG、CF，则线段BG、CF具有什么样的数量关系并求出∠GNC的度数．

Answer 1

分析 首先证明△ABG≌△AFC，推出CF=BG，∠BGA=∠FCA，根据三角形内角和定理即可解决问题．

解答 解：结论：BG=CF．
理由：如图，BG交CF于N，AG交CF于P，

∵正五边形ABCDEF与正方形ACMHG共点于A，
∴AB=AF，AC=AG，∠BAF=∠CAG=$\frac{（5-2）•180°}{5}$=108°，
∴∠BAG=∠FAC，
在△ABG和AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{∠BAG=∠FAC}\\{AG=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△AFC，
∴CF=BG，∠BGA=∠FCA，
∵∠GNC=180°-∠BGA-∠NPG，
∵∠NPG=∠APC，
∴∠GNC=180°-∠FCA-∠APC=∠CAG=108°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、正多边形的有关性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．