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已知关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2-3a)x+3=0.
(1)求证:当a取不等于1的实数时,此方程总有两个实数根;
(2)若m,n(m<n)是此方程的两根,并且
1
m
+
1
n
=
4
3
.直线l:y=mx+n交x轴于点A,交y轴于点B.坐标原点O关于直线l的对称点O′在反比例函数y=
k
x
的图象上,求反比例函数y=
k
x
的解析式;
(3)在(2)成立的条件下,将直线l绕点A逆时针旋转角θ(0°<θ<90°),得到直线l′,l′交y轴于点P,过点P作x轴的平行线,与上述反比例函数y=
k
x
的图象交于点Q,当四边形APQO′的面积为9-
3
3
2
时,求θ的值.
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分析:(1)由方程(a-1)x2+(2-3a)x+3=0为一元二次方程,所以a≠0;要证明方程总有两个实数根,即证明当a取不等于1的实数时,△>0,而△=(2-3a)2-4×(a-1)×3=(3a-4)2,即可得到△≥0.
(2)先利用求根公式求出两根3,
1
a-1
,再代入
1
m
+
1
n
=
4
3
,可得到a=2,则m=1,n=3,直线l:y=x+3,这样就可得到坐标原点O关于直线l的对称点,代入反比例函数y=
k
x
,即可确定反比例函数y=
k
x
的解析式;
(3)延长PQ,AO′交于点G,设P(0,p),则Q(-
9
p
,p).四边形APQO'的面积=S△APG-S△QGO′=9-
3
3
2
,这样可求出p;可得到OP,PA,可求出∠PAO=60°,这样就可求出θ.
解答:(1)证明:∵方程(a-1)x2+(2-3a)x+3=0是一元二次方程,
精英家教网∴a-1≠0,即a≠1.
∴△=(2-3a)2-4×(a-1)×3=(3a-4)2,而(3a-4)2≥0,
∴△≥0.
所以当a取不等于1的实数时,此方程总有两个实数根;
(2)解:∵m,n(m<n)是此方程的两根,
∴m+n=-
2-3a
a-1
,mn=
3
a-1

1
m
+
1
n
=
4
3
m+n
mn
=
4
3

∴-
2-3a
3
=
4
3

∴a=2,即可求得m=1,n=3.
∴y=x+3,则A(-3,0),B(0,3),
∴△ABO为等腰直角三角形,
∴坐标原点O关于直线l的对称点O′的坐标为(-3,3),把(-3,3)代入反比例函数y=
k
x
,得k=-9,
所以反比例函数的解析式为y=-
9
x


(3)解:设点P的坐标为(0,P),延长PQ和AO′交于点G.
∵PQ∥x轴,与反比例函数图象交于点Q,
∴四边形AOPG为矩形.
∴Q的坐标为(-
9
p
,p),
∴G(-3,P),
当0°<θ<45°,即p>3时,
∵GP=3,GQ=3-
9
p
,GO′=p-3,GA=p,
∴S四边形APQO′=S△APG-S△QGO′=
1
2
×p×3-
1
2
×(3-
9
p
)×(p-3)=9-
27
2p

9-
3
3
2
=9-
27
2p

∴p=3
3
.(合题意)
∴P(0,3
3
).则AP=6,OA=3,
所以∠PAO=60°,∠θ=60°-45°=15°;
当45°≤θ<90°,则p<-3,
用同样的方法也可求得p=3
3
,这与p<-3相矛盾,舍去.
所以旋转角度θ为15°.
点评:题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2-4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.同时考查了反比例函数的性质和一些几何图形的性质.
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