Question

7．感知：如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．易知BE=DG．
探究：如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．求证：BE=DG．
应用：如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD的延长线上．若AE=3ED，∠A=∠F，△EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为20．

Answer 1

分析 感知：想办法证明△BCE≌△DCG即可解决问题；
探究：结论成立．证明方法类似；
应用：由四边形ABCD是菱形，S_△EBC=8，推出S_△AEB+S_△EDC=8，由AE=3DE，推出S_△AEB=3S_△EDC，可得S_△EDC=6，S_△EDC=2，由△BCE≌△DCG，推出S_△DGC=S_△EBC=8，根据菱形CEFG的面积=2•S_△EGC即可解决问题；

解答 感知：证明：∵四边形ABCD、四边形CEFG均为正方形，
∴BC=CD，CE=CG，
∵∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD-∠ECD=∠ECG-∠ECD，
即∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CD}\\{∠BCE=∠DCG}\\{CE=CG}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCG，
∴BE=DG．

探究：∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F，
∵∠A=∠F，
∴∠BCD=∠ECG，
∴∠BCD-∠ECD=∠ECG-∠ECD，
即∠BCE=∠DCG，
∴△BCE≌△DCG．，
∴BE=DG．

应用：∵四边形ABCD是菱形，S_△EBC=8，
∴S_△AEB+S_△EDC=8，
∵AE=3DE，
∴S_△AEB=3S_△EDC，
∴S_△EDC=6，S_△EDC=2，
∵△BCE≌△DCG，
∴S_△DGC=S_△EBC=8，
∴S_△ECG=8+2=10，
∴菱形CEFG的面积=2•S_△EGC=20，
故答案为20．

点评 本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质解决问题，灵活运用条件解决问题，属于中考常考题型．