分析 (1)先求出点A和点B的坐标,把点A和点B的坐标代入直线y=ax+b,组成方程组,解方程组即可得出k、b的值;作CN⊥x轴于N,则CN∥OB,求出点C的坐标,即可得出双曲线的解析式;
(2)分三种情况讨论:①过点C作DM的平行线,交双曲线于点P,先求出点D的坐标,再求出直线DM的解析式,求出点M的坐标,用待定系数法求出CP的解析式,再解方程组即可求出点P的坐标;
②作MP∥CD,交双曲线于P,同理得出点P的坐标为(-1,-3),此时MP=CD,四边形CDPM是平行四边形,不合题意;
③作DP∥CM,交双曲线于P,同②得出四边形CDPM是平行四边形,不合题意;即可得出结果.
解答 解:(1)∵∠OAD=135°,
∴∠OAB=45°,
∵∠AOB=90°,
∴△AOB是等腰直角三角形,
∴OB=OA=2,
∴点A(-2,0),B(0,2),
把点A(-2,0),B(0,2)代入直线y=ax+b得:$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$,
∴直线的解析式为:y=x+2;
作CN⊥x轴于N,如图1所示:
则CN∥OB,
∴$\frac{OB}{CN}=\frac{AB}{AC}=\frac{OA}{AN}$,
∵AB=2BC,$\frac{OB}{CN}=\frac{2}{3}=\frac{OA}{AN}$,
∴CN=3,AN=3,
∴ON=3-2=1,
∴点C的坐标为(1,3),把点C(1,3)代入双曲线y=$\frac{k}{x}$得:k=3,∴双曲线的解析式为:y=$\frac{3}{x}$;
(2)在双曲线上是否存在一点P,使得以点P,C、M、D为顶点的四边形是梯形;点P的坐标为(-9,-$\frac{1}{3}$);
理由如下:分三种情况讨论:
①过点C作DM的平行线,交双曲线于点P,如图2所示:
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$ 得:$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-1}\end{array}\right.$,
由题意得:点D的坐标为(-3,-1),
设直线DM的解析式为y=kx,
把点D(-3,-1)代入得:k=$\frac{1}{3}$,
∴直线DM的解析式为:y=$\frac{1}{3}$x,
由直线DM和双曲线的解析式得:$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$,或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$,
∴M的坐标为(3,1),
设直线CP的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+c,把点C(1,3)代入得:c=$\frac{8}{3}$,
∴直线CP的解析式为:y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{8}{3}$,
由直线CP和双曲线的解析式得:$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$,或$\left\{\begin{array}{l}{x=-9}\\{y=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$,
由题意得点P的坐标为(-9,-$\frac{1}{3}$);
②作MP∥CD,交双曲线于P,如图3所示:同理得出点P的坐标为(-1,-3),
此时MP=CD,
∴四边形CDPM是平行四边形,不合题意;
③作DP∥CM,交双曲线于P,如图4所示:
同②得出四边形CDPM是平行四边形,不合题意;
综上所述:在双曲线上存在一点P,使得以点P,C、M、D为顶点的四边形是梯形,
点P的坐标为(-9,-$\frac{1}{3}$).
点评 本题是反比例函数综合题目、考查了一次函数解析式和反比例函数解析式的求法、坐标与图形性质、方程组的解法、梯形的性质等知识;本题综合性强,难度较大,特别是(2)中,需要进行分类讨论才能得出结果.
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