Question

10．如图，直线y=ax+b与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于C，D两点，与x轴，y轴分别交于点A，B，已知OA=2，∠OAD=135°，AB=2BC．
（1）求直线y=ax+b和双曲线y=$\frac{k}{x}$的解析式；
（2）若直线OD与双曲线的另一交点为M，在双曲线上是否存在一点P，使得以点P，C、M、D为顶点的四边形是梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出点A和点B的坐标，把点A和点B的坐标代入直线y=ax+b，组成方程组，解方程组即可得出k、b的值；作CN⊥x轴于N，则CN∥OB，求出点C的坐标，即可得出双曲线的解析式；
（2）分三种情况讨论：①过点C作DM的平行线，交双曲线于点P，先求出点D的坐标，再求出直线DM的解析式，求出点M的坐标，用待定系数法求出CP的解析式，再解方程组即可求出点P的坐标；
②作MP∥CD，交双曲线于P，同理得出点P的坐标为（-1，-3），此时MP=CD，四边形CDPM是平行四边形，不合题意；
③作DP∥CM，交双曲线于P，同②得出四边形CDPM是平行四边形，不合题意；即可得出结果．

解答 解：（1）∵∠OAD=135°，
∴∠OAB=45°，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OB=OA=2，
∴点A（-2，0），B（0，2），
把点A（-2，0），B（0，2）代入直线y=ax+b得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线的解析式为：y=x+2；
作CN⊥x轴于N，如图1所示：
则CN∥OB，
∴$\frac{OB}{CN}=\frac{AB}{AC}=\frac{OA}{AN}$，
∵AB=2BC，$\frac{OB}{CN}=\frac{2}{3}=\frac{OA}{AN}$，
∴CN=3，AN=3，
∴ON=3-2=1，
∴点C的坐标为（1，3），把点C（1，3）代入双曲线y=$\frac{k}{x}$得：k=3，∴双曲线的解析式为：y=$\frac{3}{x}$；
（2）在双曲线上是否存在一点P，使得以点P，C、M、D为顶点的四边形是梯形；点P的坐标为（-9，-$\frac{1}{3}$）；
理由如下：分三种情况讨论：
①过点C作DM的平行线，交双曲线于点P，如图2所示：
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$ 得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
由题意得：点D的坐标为（-3，-1），
设直线DM的解析式为y=kx，
把点D（-3，-1）代入得：k=$\frac{1}{3}$，
∴直线DM的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x，
由直线DM和双曲线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴M的坐标为（3，1），
设直线CP的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+c，
把点C（1，3）代入得：c=$\frac{8}{3}$，
∴直线CP的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{8}{3}$，
由直线CP和双曲线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-9}\\{y=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
由题意得点P的坐标为（-9，-$\frac{1}{3}$）；
②作MP∥CD，交双曲线于P，如图3所示：
同理得出点P的坐标为（-1，-3），
此时MP=CD，
∴四边形CDPM是平行四边形，不合题意；
③作DP∥CM，交双曲线于P，如图4所示：
同②得出四边形CDPM是平行四边形，不合题意；
综上所述：在双曲线上存在一点P，使得以点P，C、M、D为顶点的四边形是梯形，
点P的坐标为（-9，-$\frac{1}{3}$）．

点评 本题是反比例函数综合题目、考查了一次函数解析式和反比例函数解析式的求法、坐标与图形性质、方程组的解法、梯形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（2）中，需要进行分类讨论才能得出结果．