Question

3．如图，边长均为3的正方ABCD与正方形EFGH在平面直角坐标系中关于原点对称，点A（-1，0）．
（1）求点B、F、G的坐标；
（2）请说明AB∥EF．

Answer 1

分析 （1）由两个正方形关于原点对称，得出点F的坐标为（1，0），OF=OA=1，由勾股定理求出OB，即可得出点B的坐标；作GM⊥x轴于M，则∠GMF=90°，由AAS证明△GMF≌△FOE，得出对应边相等GM=OF=1，FM=OE=OB=2$\sqrt{2}$，求出OM，即可得出点G的坐标；
（2）由中心对称的性质得出OF=OA，OE=OB，得出OF：OA=OE：OB，即可得出结论．

解答 （1）解：∵边长均为3的正方ABCD与正方形EFGH关于原点对称，点A（-1，0），
∴点F的坐标为（1，0），OF=OA=1，AB=3，
∵∠AOB=90°，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴点B的坐标为（0，-2$\sqrt{2}$）；
作GM⊥x轴于M，如图所示：
则∠GMF=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴GF=FE，∠EFG=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△GMF和△FOE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GMF=∠FOE=90°}&{\;}\\{∠2=∠3}&{\;}\\{GF=FE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GMF≌△FOE（AAS），
∴GM=OF=1，FM=OE=OB=2$\sqrt{2}$，
∴OM=OF+FM=1+2$\sqrt{2}$，
∴点G的坐标为（1+2$\sqrt{2}$，1）；
（2）证明：∵正方ABCD与正方形EFGH关于原点对称，
∴OF=OA，OE=OB，
∴OF：OA=OE：OB，
∴AB∥EF．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、关于原点对称的点的坐标特征等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．