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1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A(-1,0),B(0,1),且与x轴有唯一交点
(1)求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的解析式;
(2)若将(1)中的抛物线沿y轴向下平移m个单位后与x轴的两个交点分别为C、D(点C在点D的左边),当∠CBD=90°,求m的值;
(3)在(2)中平移后的抛物线上是否存在一点E,使以点C、D、B、E为顶点的四边形是矩形?若存在,请求出点E的坐标;如若不存在,请说明理由..

分析 (1)由题意可知抛物线的顶点坐标为(-1,0).设抛物线的解析式为y=(x+1)2+k,将点B(0,1)代入求得k的值即可;
(2)平移后的抛物线的解析式为y=x2+2x+1-m.令y=0得:x2+2x+1-m=0,依据一元二次方程根与系数的关系得到OC•OD=m-1,令x=0得:y=1-m,则OB=m-1,接下来证明△BCO∽△DOB,依据相似三角形的性质得到OB2=OC•OD,然后列出关于m的方程求解即可;
(3)连接BE交x轴与点F.当m=2时,抛物线的解析式为y=x2+2x-1,由以点C、D、B、E为顶点的四边形是矩形可知CD为矩形的对角线,然后可求得点F的坐标,依据两点坐标公式可得到点E的坐标,然后判断点E是否在抛物线上即可.

解答 解:(1)∵抛物线过点A(-1,0),且与x轴有唯一交点,
∴抛物线的顶点坐标为(-1,0).
设抛物线的解析式为y=(x+1)2+k,将点B(0,1)代入得:1+k=1,解得k=0,
∴抛物线的解析式为y=(x+1)2即y=x2+2x+1.
(2)平移后抛物线的解析式如图1所示:

将抛物线y=x2+2x+1沿y轴向下平移m个单位所得抛物线的解析式为y=x2+2x+1-m.
令y=0得:x2+2x+1-m=0,
∴OC•OD=m-1.
令x=0得:y=1-m.
∴OB=m-1.
∵∠CBD=90°,
∴∠CBO+∠DBO=90°.
又∵∠OCB+∠CBO=90°,
∴∠OCB=∠OBD.
又∵∠BOC=∠BOD,
∴△BCO∽△DOB.
∴$\frac{OC}{OB}$=$\frac{OB}{OD}$,即OB2=OC•OD.
∴(m-1)2=m-1,解得m=2或m=1(舍去).
∴m的值为2.
(3)如图2所示:连接BE交x轴与点F.

当m=2时,抛物线的解析式为y=x2+2x-1.
∵以点C、D、B、E为顶点的四边形是矩形,且∠CBD=90°,
∴CD必然为矩形的对角线.
∴CF=DF.
∵点C与点D关于x=-1对称,
∴F(-1,0).
当m=2时,B(-1,0).
∴点E(-2,1).
把x=-2代入得:y=-1≠1,
∴点E不在抛物线上.
∴不存在以点C、D、B、E为顶点的四边形是矩形.

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一元二次方程根与系数的关系,相似三角形的性质和判定、矩形的判定,依据相似三角形的性质列出关于m的方程是解题的关键.

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