Question

5．如图，已知A（m，$\frac{1}{2}$）、B（n，2）是一次函数y=ax+b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的两个交点，且位于第二象限内，过A作AC⊥x轴于C，过B分别作BD⊥x轴于D，BE⊥AC于E，△ABE的面积为$\frac{9}{4}$．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点P（t，0）为x轴上的一点，连结AP、BP，当∠APB＞90°时，试求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据A（m，$\frac{1}{2}$）、B（n，2）在反比例函数图象上，△ABE的面积为$\frac{9}{4}$，可得到方程组，进而得到m，n的值，再利用待定系数法即可得出一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当∠APB=90°时，△ACP∽△PDB，根据相似三角形的对应边成比例可得$\frac{\frac{1}{2}}{-1-t}=\frac{t+4}{2}$，解得t=$\frac{-5±\sqrt{5}}{2}$，再根据∠APB＞90°，即可得到t的取值范围．

解答 解：（1）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}m=2n}\\{\frac{1}{2}（n-m）×\frac{3}{2}=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-4}\\{n=-1}\end{array}\right.$，
∴A（-4，$\frac{1}{2}$），B（-1，2），
代入一次函数y=ax+b，可得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}=-4a+b}\\{2=-a+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴一次函数表达式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$；
把B（-1，2）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，可得
k=-1×2=-2，
∴反比例函数的表达式为y=-$\frac{2}{x}$；

（2）∵AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
∴当∠APB=90°时，△ACP∽△PDB，
∴$\frac{\frac{1}{2}}{-1-t}=\frac{t+4}{2}$，
解得t=$\frac{-5±\sqrt{5}}{2}$，
∵∠APB＞90°，
∴t的取值范围为：$\frac{-5-\sqrt{5}}{2}$＜t＜$\frac{-5+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及相似三角形的性质，解题时注意：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．