Question

13．如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）用含有t的代数式表示AE=5-t．
（2）当t为何值时，平行四边形AQPD为矩形．
（3）如图2，当t为何值时，平行四边形AQPD为菱形．
（4）是否存在某一时刻t，使四边形PQCB的面积S最小？若存在，请求出t的值及最小面积S；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先利用勾股定理求得AB=10，然后表示出AP，利用平行四边形对角线互相平分表示出线段AE即可；
（2）利用矩形的性质得到△APQ∽△ABC，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值；
（3）利用菱形的对角线相互垂直平分解答；
（4）过点P作PM⊥AC于M．则S_{四边形PQCB}=S_△ABC-S_△APQ，据此列出S关于t的二次函数，由二次函数的最值的求法得到答案．

解答 解：（1）如图1，∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．
∴由勾股定理得：AB=10cm，
∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度均为2cm/s，
∴BP=2tcm，
∴AP=AB-BP=10-2t，
∵四边形AQPD为平行四边形，
∴AE=$\frac{1}{2}$AP=5-t；
故答案是：5-t；

（2）如图2，当?AQPD是矩形时，PQ⊥AC，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC  
∴$\frac{QA}{AP}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{2t}{10-2t}$=$\frac{8}{10}$，
解之  t=$\frac{20}{9}$，
∴当t=$\frac{20}{9}$时，?AQPD是矩形；

（3）当?AQPD是菱形时，DQ⊥AP，
则 COS∠BAC=$\frac{AE}{AQ}$=$\frac{AC}{AB}$，即 $\frac{5-t}{2t}$=$\frac{8}{10}$，
解之  t=$\frac{25}{13}$，
所以当t=$\frac{25}{13}$时，□AQPD是菱形；

（4）存在某一时刻t，使四边形PQCB的面积S最小．
如图3，过点P作PM⊥AC于M．
则$\frac{PM}{AP}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{6}{10}$，即$\frac{PM}{10-2t}$=$\frac{6}{10}$，
故PM=$\frac{6}{5}$（5-t）．
则S_{四边形PQCB}=S_△ABC-S_△APQ，
=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{6}{5}$（5-t），
=$\frac{6}{5}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{33}{2}$．
即S=$\frac{6}{5}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{33}{2}$．
所以当t=$\frac{5}{2}$时，S_最小值=$\frac{33}{2}$．

点评 本题是非常典型的动点型综合题，全面考查了相似三角形线段比例关系、菱形的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的极值等知识点，涉及的考点众多，计算量偏大，有一定的难度．本题考查知识点非常全面，是一道测试学生综合能力的好题．