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13.如图1,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm.点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为2cm/s.以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD,连接DQ,交AB于点E.设运动的时间为t(单位:s)(0≤t≤4).解答下列问题:
(1)用含有t的代数式表示AE=5-t.
(2)当t为何值时,平行四边形AQPD为矩形.
(3)如图2,当t为何值时,平行四边形AQPD为菱形.
(4)是否存在某一时刻t,使四边形PQCB的面积S最小?若存在,请求出t的值及最小面积S;若不存在,请说明理由.

分析 (1)首先利用勾股定理求得AB=10,然后表示出AP,利用平行四边形对角线互相平分表示出线段AE即可;
(2)利用矩形的性质得到△APQ∽△ABC,利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值;
(3)利用菱形的对角线相互垂直平分解答;
(4)过点P作PM⊥AC于M.则S四边形PQCB=S△ABC-S△APQ,据此列出S关于t的二次函数,由二次函数的最值的求法得到答案.

解答 解:(1)如图1,∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm.
∴由勾股定理得:AB=10cm,
∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度均为2cm/s,
∴BP=2tcm,
∴AP=AB-BP=10-2t,
∵四边形AQPD为平行四边形,
∴AE=$\frac{1}{2}$AP=5-t;
故答案是:5-t;

(2)如图2,当?AQPD是矩形时,PQ⊥AC,
∴PQ∥BC,
∴△APQ∽△ABC  
∴$\frac{QA}{AP}$=$\frac{AC}{AB}$,即$\frac{2t}{10-2t}$=$\frac{8}{10}$,
解之  t=$\frac{20}{9}$,
∴当t=$\frac{20}{9}$时,?AQPD是矩形;

(3)当?AQPD是菱形时,DQ⊥AP,
则 COS∠BAC=$\frac{AE}{AQ}$=$\frac{AC}{AB}$,即 $\frac{5-t}{2t}$=$\frac{8}{10}$,
解之  t=$\frac{25}{13}$,
所以当t=$\frac{25}{13}$时,□AQPD是菱形;

(4)存在某一时刻t,使四边形PQCB的面积S最小.
如图3,过点P作PM⊥AC于M.
则$\frac{PM}{AP}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{6}{10}$,即$\frac{PM}{10-2t}$=$\frac{6}{10}$,
故PM=$\frac{6}{5}$(5-t).
则S四边形PQCB=S△ABC-S△APQ
=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{6}{5}$(5-t),
=$\frac{6}{5}$(t-$\frac{5}{2}$)2+$\frac{33}{2}$.
即S=$\frac{6}{5}$(t-$\frac{5}{2}$)2+$\frac{33}{2}$.
所以当t=$\frac{5}{2}$时,S最小值=$\frac{33}{2}$.

点评 本题是非常典型的动点型综合题,全面考查了相似三角形线段比例关系、菱形的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的极值等知识点,涉及的考点众多,计算量偏大,有一定的难度.本题考查知识点非常全面,是一道测试学生综合能力的好题.

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