分析 (1)首先利用勾股定理求得AB=10,然后表示出AP,利用平行四边形对角线互相平分表示出线段AE即可;
(2)利用矩形的性质得到△APQ∽△ABC,利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值;
(3)利用菱形的对角线相互垂直平分解答;
(4)过点P作PM⊥AC于M.则S四边形PQCB=S△ABC-S△APQ,据此列出S关于t的二次函数,由二次函数的最值的求法得到答案.
解答 解:(1)如图1,∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm.
∴由勾股定理得:AB=10cm,
∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度均为2cm/s,
∴BP=2tcm,
∴AP=AB-BP=10-2t,
∵四边形AQPD为平行四边形,
∴AE=$\frac{1}{2}$AP=5-t;
故答案是:5-t;
(2)如图2,当?AQPD是矩形时,PQ⊥AC,
∴PQ∥BC,
∴△APQ∽△ABC
∴$\frac{QA}{AP}$=$\frac{AC}{AB}$,即$\frac{2t}{10-2t}$=$\frac{8}{10}$,
解之 t=$\frac{20}{9}$,
∴当t=$\frac{20}{9}$时,?AQPD是矩形;
(3)当?AQPD是菱形时,DQ⊥AP,
则 COS∠BAC=$\frac{AE}{AQ}$=$\frac{AC}{AB}$,即 $\frac{5-t}{2t}$=$\frac{8}{10}$,
解之 t=$\frac{25}{13}$,
所以当t=$\frac{25}{13}$时,□AQPD是菱形;
(4)存在某一时刻t,使四边形PQCB的面积S最小.
如图3,过点P作PM⊥AC于M.
则$\frac{PM}{AP}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{6}{10}$,即$\frac{PM}{10-2t}$=$\frac{6}{10}$,
故PM=$\frac{6}{5}$(5-t).
则S四边形PQCB=S△ABC-S△APQ,
=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{6}{5}$(5-t),
=$\frac{6}{5}$(t-$\frac{5}{2}$)2+$\frac{33}{2}$.
即S=$\frac{6}{5}$(t-$\frac{5}{2}$)2+$\frac{33}{2}$.
所以当t=$\frac{5}{2}$时,S最小值=$\frac{33}{2}$.
点评 本题是非常典型的动点型综合题,全面考查了相似三角形线段比例关系、菱形的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的极值等知识点,涉及的考点众多,计算量偏大,有一定的难度.本题考查知识点非常全面,是一道测试学生综合能力的好题.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2$\sqrt{3}$m | B. | (2$\sqrt{3}+1.5$)m | C. | (3$\sqrt{2}+1.5$)m | D. | 4.5m |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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