Question

（2012•钦州）如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y=

3

4

x²+bx+c经过点B，且对称轴是直线x=-

5

2

．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）将图甲中△ABO沿x轴向左平移到△DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上；
（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MN∥y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．（参考公式：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴是直线x=-

b

2a

．）

Answer 1

分析：（1）抛物线y=ax²+bx+c中，（0，c）代表的是抛物线与y轴的交点，x=-

b

2a

是抛物线的对称轴，据此确定待定系数．
（2）已知A、B点的坐标，由勾股定理能求出AB的长，若四边形ABCD是菱形，那么AD=BC=AB，可据此求出C、D点的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可．
（3）在求l与t之间的函数解析式时，要分两种情况：①抛物线在直线CD上方、②抛物线在直线CD下方；先根据直线CD与抛物线的解析式，表示出M、N的坐标，它们纵坐标的差即为l的长，当以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形时，由于CE∥MN∥y轴，那么CE必与MN相等，将CE长代入l、t的函数关系式中，即可求出符合条件的t的值．

解答：解：（1）由于抛物线y=

3

4

x²+bx+c与y轴交于点B（0，3），则 c=3；
∵抛物线的对称轴 x=-

b

2a

=-

5

2

，
∴b=5a=

15

4

；
即抛物线的解析式：y=

3

4

x²+

15

4

x+3．

（2）∵A（4，0）、B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=

OA2+OB2

=5；
若四边形ABCD是菱形，则 BC=AD=AB=5，
∴C（-5，3）、D（-1，0）．
将C（-5，3）代入y=

3

4

x²+

15

4

x+3中，得：

3

4

×（-5）²+

15

4

×（-5）+3=3，所以点C在抛物线上；
同理可证：点D也在抛物线上．

（3）设直线CD的解析式为：y=kx+b，依题意，有：

-5k+b=3 -k+b=0

，解得

k=- 3 4 b=- 3 4

∴直线CD：y=-

3

4

x-

3

4

．
由于MN∥y轴，设 M（t，

3

4

t²+

15

4

t+3），则 N（t，-

3

4

t-

3

4

）；
①t＜-5或t＞-1时，l=MN=（

3

4

t²+

15

4

t+3）-（-

3

4

t-

3

4

）=

3

4

t²+

9

2

t+

15

4

；
②-5＜t＜-1时，l=MN=（-

3

4

t-

3

4

）-（

3

4

t²+

15

4

t+3）=-

3

4

t²-

9

2

t-

15

4

；
若以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形，由于MN∥CE，则MN=CE=3，则有：

3

4

t²+

9

2

t+

15

4

=3，解得：t₁=-3+2

2

，t₂=-3-2

2

；
-

3

4

t²-

9

2

t-

15

4

=3，解得：t=-3；
综上，l=

3 4 t2+ 9 2 t+ 15 4 (t＜-5或t＞-1) - 3 4 t2- 9 2 t- 15 4 (-5＜t＜-1)

且当t=-3+2

2

，t=-3-2

2

或-3时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．

点评：这道二次函数综合题涉及的内容并不复杂，主要有：函数解析式的确定以及菱形、平行四边形的性质；最后一题容易出错，一定要注意函数解析式对应的自变量取值范围，以免出错．