Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；

（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝1；（2）详见解析；（3）当t＝3﹣，t＝3+，t＝2，t＝4，t＝0时，△AOH是等腰三角形．

【解析】

（1）当边FG恰好经过点C时，由∠CFB＝60°得BF＝3﹣t，在Rt△CBF中，根据三角函数求得t的值；

（2）根据运动的时间为t不同的取值范围，求等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S的值，当0≤t＜1时，重叠部分是直角梯形，面积S等于梯形的面积，

当1≤t＜3时，重叠部分是S梯形MKFE﹣S△QBF，当3≤t＜4时，重叠部分是S梯形MKFE，当4≤t＜6时，重叠部分是正三角形的面积；

（3）当AH＝AO＝3时，AM＝ AH＝ ，在Rt△AME中，由cos∠MAE＝ 即cos30°＝ ，得AE＝ ，即3﹣t＝或t﹣3＝，求出t＝3﹣或t＝3+；

当AH＝HO时，∠HOA＝∠HAO＝30°，又因为∠HEO＝60°得到∠EHO＝90°EO＝2HE＝2AE，再由AE+2AE＝3，求出AE＝1，即3﹣t＝1或t﹣3＝1，求出t＝2或t＝4；

当OH＝OA＝时∠HOB＝∠OAH＝30°，所以∠HOB＝60°＝∠HEB，得到点E和点O重合，从而求出t的值

如图1（1），当边FG恰好经过点C时，

∵∠CFB＝60°，

∴BF＝3﹣t，

在Rt△CBF中，

∵BC＝2，tan∠CFB＝，

∴tan60＝ ，

解得BF＝2，即3﹣t＝2，

∴t＝1，

当边FG恰好经过点C时，t＝1；

（2）如图2，过点M作MN⊥AB于N，

当0≤t＜1时，

∵tan60°＝，

∴EN＝2，

∵EB＝3+t，NB＝3+t﹣2＝1+t，

∴MC＝1+t，

∴S＝ （MC+EB）BC＝2t+4；

如图3，当1≤t＜3时，

∵MN＝2 EF＝OP＝6，

GH＝6× ＝3，

∴，

∴MK＝2，

∵EB＝3+t，BF＝3﹣t，BQ＝t﹣，

∴S＝S梯形MKFE﹣S△QBF＝﹣ t2+3t+ ；

如图4，当3≤t＜4时，

∵MN＝2，EF＝6﹣2（t﹣3）＝12﹣2t，

∴GH＝（12﹣2t）×＝6﹣t，∴，

∴MK＝8﹣2t，

∴S＝﹣4t+20；

当4≤t＜6时，

∵EF＝12﹣2t，

∴高为：EFsin60°＝EF，

∴S＝t2﹣12t+36；

（3）存在．

在Rt△ABC中，tan ，∴∠CAB＝30°

∵∠HEO＝60°，

∴∠HAE＝∠AHE 30°，

∴AE＝HE＝3﹣t或t﹣3，

如图5，当AH＝AO＝3时，

过点E作EM⊥AH与M，

则AM＝ AH＝ ，

在Rt△AME中，

cos∠MAE＝ 即cos30°＝ ，

∴AE，

即3﹣t＝或t﹣3＝；

∴t＝3﹣或t＝3+；

如图6，当AH＝HO时，∠HOA＝∠HAO＝30°，

∵∠HEO＝60°，

∴∠EHO＝90°，EO＝2HE＝2AE，

∵AE+2AE＝3，

∴AE＝1，即3﹣t＝1或t﹣3＝1，

∴t＝2或t＝4；

如图7，当OH＝OA＝时，

∠HOB＝∠OAH＝30°，

∴∠HOB＝60°＝∠HEB，

∴点E和点O重合，

∴AE＝AO＝3，

当E刚开始时，3﹣t＝3，

当E返回时t﹣3＝3，

∴t＝0，t＝6（舍去），

综上所述当t＝3﹣，t＝3+，t＝2，t＝4，t＝0时，△AOH是等腰三角形．