Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠CBF=∠CFB，
∴CB=CF．
又∵AC=CF，
∴CB=AF，
∴△ABF是直角三角形．
∴∠ABF=90°，
∴直线BF是⊙O的切线；

（2）解：连接DO，EO．
∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，
∴∠AOD=60°．
又∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，∠OAD=60°，OA=AD=5．
又∵∠ABF=90°，AB=2OA=10，
∴BF=10．
分析：（1）欲证明直线BF是⊙O的切线，只需证明∠ABF=90°；
（2）连接DO，EO．利用圆心角、弧、弦间的关系推知△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质知，在直角△ABF中，∠OAD=60°，AB=2AD=10，所以通过解该三角形即可求得线段BF的长度．
点评：本题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质等．解题时，充分利用了圆心角、弧、弦间的关系．