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9.(1)已知:如图1,△ABC为等边三角形,CE平分△ABC的外角∠ACM,点在BC上,连接AD、DE,如果∠ADE=60°,求证:AD=DE.
(2)如果△ABC为任意三角形,且∠ACB=60°,其他条件不变,这个结论还成立吗?说明你的理由.

分析 (1)只要证明A、D、C、E四点共圆,即可得到∠ECM=∠DAE=60°,∠AED=∠ACB=60°,所以∠DAE=∠DEA由此解决问题.
(2)证明类似(1),先证明A、D、C、E四点共圆,再证明∠DAE=∠DEA即可.

解答 (1)证明:如图1中,∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,∠ACM=120°,
∴CE平分∠ACM,
∴∠ACE=∠ECM=60°,
∵∠ADE=60°,∠ACE=60°,
∴∠ADE=∠ACE,
∴A、D、C、E四点共圆,
∴∠ECM=∠DAE=60°,∠AED=∠ACB=60°,
∴∠DAE=∠DEA,
∴AD=DE.
(2)结论成立.DA=DE.
理由:如图2中,连接AE,
∵∠ACB=60°,
∴∠ACM=180°-∠ACB=120°,
∴CE平分∠ACM,
∴∠ACE=∠ECM=60°,
∵∠ADE=60°,∠ACE=60°,
∴∠ADE=∠ACE,
∴A、D、C、E四点共圆,
∴∠ECM=∠DAE=60°,∠AED=∠ACB=60°,
∴∠DAE=∠DEA,
∴AD=DE.

点评 本题考查四点共圆,圆内接四边形的性质等知识,解题的关键是发现A、D、C、E四点共圆,掌握圆内接四边形的性质,题目有点难度.

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