Question

（1）比较大小：
①3+5

 

2

3×5

；
②

1

2

+

3

5

 

2

1 2 × 3 5

；
③2+

1

2

 

2

2× 1 2

；④6+6

 

2

6×6

．
（2）通过（1）的判断，你可猜想：当a、b为正实数时，a+b与2

ab

的大小关系为a+b

 

2

ab

．
（3）利用上述猜想解决下列问题：如图，有一等腰梯形的工件（厚度不计），其面积为1800cm²，现要用包装带如图包扎（四点为四边中点），求最少需要包装带的长为多少cm？

Answer 1

分析：（1）计算出结果，直接比较大小；
（2）由完全平方公式（a-b）²≥0，推得结论；
（3）S_梯形ACBD=

上底+下底

2

×高，梯形的中位线=

上底+下底

2

，则梯形的面积=梯形的中位线×高，即中位线×高=1800，
由（2）得EG+HF≥2

EG•FH

，即得答案．

解答：解：（1）①∵3+5=8=

64

，2

3×5

=

60

，
∴3+5＞2

3×5

；
②∵

1

2

+

3

5

=

11

10

=

121 100

，2

1 2 × 3 5

=

120 100

，
∴

1

2

+

3

5

＞2

1 2 × 3 5

；
③∵2+

1

2

=

5

2

=

25 4

，2

2× 1 2

=

4

，
∴2+

1

2

＞2

2× 1 2

；
④∵6+6=12=

144

，2

6×6

=

144

，
∴6+6=2

6×6

；

（2）由上面的例子得a+b≥2

ab

，理由如下：
∵（a-b）²≥0，∴a²+b²-2ab≥0，a²+b²-2ab+4ab≥0+4ab，
∴（a+b）²≥4ab，即a+b≥2

ab

；

（3）∵S_梯形ACBD=

上底+下底

2

×高=1800，梯形的中位线=

上底+下底

2

，
∴梯形的面积=梯形的中位线×高，即中位线×高=1800，
∴EG•HF=1800，
EG+HF≥2

EG•FH

=2

1800

=60

2

cm，
答：最少需要包装带的长为60

2

cm．

点评：本题考查有理数的大小比较及其实际应用，及利用梯形的第二个面积公式求解问题：梯形的面积=梯形的中位线×高．