Question

【题目】如图，中，，以为坐标原点建立直角坚标系，使点在轴正半轴上，，，点为边的中点，抛物线的顶点是原点，且经过点

(1)填空：直线的解析式为 ；抛物线的解析式为 ．

(2)现将该抛物线沿着线段移动，使其顶点始终在线段上(包括点，)，抛物线与轴的交点为，与边的交点为；

①设的面积为，求的取值范围；

②是否存在这样的点，使四边形为平行四边形？如存在，求出此时抛物线的解析式；如不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=2x，y=x2 ；（2）①，②存在，

【解析】

（1）本题须先求出点C的坐标然后即可求出直线OC的解析式和抛物线的解析式；
（2）①根据抛物线的移动规律设出抛物线的解析式，求出△BOE的面积S与m的关系，再根据m的取值范围即可求出S的取值范围；

②根据平行四边形的性质即可得出m的值．

解：（1）∵OA=2，AB=8，点C为AB边的中点，
∴点C的坐标为（2，4）点，
设直线的解析式为y=kx
则4=2k，解得k=2
∴直线的解析式为y=2x，
设抛物线的解析式为y=kx2
则4=4k，解得k=1
∴抛物线的解析式为y=x2；

（2）设移动后抛物线的解析式为y=（x-m）2+2m，

① ∵，

，

又∵，

∴；

②存在点D，使四边形BDOC为平行四边形，

当OD=BC，四边形BDOC为平行四边形，

∴OD=BC==4，

则可得x=0时y=4，

∴m2+2m=4，

∴（m+1）2=5，

解得或（舍去），

所以，

∴．