Question

【题目】(1)发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b．填空：

当点A位于　 　时，线段AC的长取得最大值，且最大值为　 　(用含a，b的式子表示)

(2)应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．

(3)拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】(1)CB的延长线上， a+b；(2)①CD＝BE，理由见解析；②BE长的最大值为5；(3)满足条件的点P坐标(2﹣，)或(2﹣，﹣)，AM的最大值为2+4．

【解析】

（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据已知条件易证△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质即可得CD＝BE；②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2+4；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标．如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件，由此求得符合条件的点P另一个的坐标．

(1)∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，

∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，

故答案为：CB的延长线上，a+b；

(2)①CD＝BE，

理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，

∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，

即∠CAD＝∠EAB，

在△CAD与△EAB中， ，

∴△CAD≌△EAB(SAS)，

∴CD＝BE；

②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，

由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，

∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝5；

(3)如图1，

∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，

则△APN是等腰直角三角形，

∴PN＝PA＝2，BN＝AM，

∵A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)，

∴OA＝2，OB＝6，

∴AB＝4，

∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，

∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，

最大值＝AB+AN，

∵AN＝AP＝2，

∴最大值为2+4；

如图2，

过P作PE⊥x轴于E，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE＝AE＝，

∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝6﹣4﹣＝2﹣，

∴P(2﹣，)．

如图3中，

根据对称性可知当点P在第四象限时，P(2﹣，﹣)时，也满足条件．

综上所述，满足条件的点P坐标(2﹣，)或(2﹣，﹣)，AM的最大值为2+4．