Question

已知a，b，c都是整数，当代数式7a+2b+3c的值能被13整除时，那么代数式5a+7b-22c的值是否一定能被13整除，为什么？

Answer 1

分析：设x，y，z，t是整数，并且假设5a+7b-22c=x（7a+2b+3c）+13（ya+zb+tc），则有7x+13y=52x+13z=7，从而得出y=2，z=1，t=-1，则有13（2a+b-c）-3（7a+2b+3c）=5a+7b-22c，从而得出代数式5a+7b-22c的值能被13整除．
例如：取x=10，则有y=-5，z=-1，t=-4，
则有5a+7b-22c=10（7a+2b+3c）-13（5a+b+4c）
实际上，（2）是一组二元整系数不定方程，
我们先解第一个，得到x=-3+13k，y=2-7k，这里k是任意整数，
将x=-3+13k代入其余方程，解得z=1-2k，t=-1-3k，
这里k是任意整数，
则可以有5a+7b-22c=（-3+13k）（7a+2b+3c）+13[（2-7k）a+（1-2k）b+（-1-3k）c]．

解答：解：设x，y，z，t是整数，
并且假设5a+7b-22c=x（7a+2b+3c）+13（ya+zb+tc）（1）
比较上式a，b，c的系数，
应当有7x+13y=52x+13z=7（2）
3x+13t=-22，取x=-3，
可以得到y=2，z=1，t=-1，
则有13（2a+b-c）-3（7a+2b+3c）=5a+7b-22c（3）
既然3（7a+2b+3c）和13（2a+b-c）都能被13整除，
5a+7b-22c就能被13整除．

点评：本题考查了数的整除性问题，特殊值法是常用的方法．