Question

2．（1）问题发现
如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，$\frac{AB}{AC}$=1，点P是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，连接CD．
填空：①$\frac{PB}{CD}$=1；②∠ACD的度数为45°．
（2）拓展探究
如图2，在Rt△ABC中，∠A=90°，$\frac{AB}{AC}$=k．点P是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，连接CD，请判断∠ACD与∠B的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在△ABC中，∠B=45°，AB=4$\sqrt{2}$，BC=12，P是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD=∠BAC，∠APD=∠B，连接CD．若PA=5，请直接写出CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件推出△ABP≌△ACD，根据全等三角形的性质得到PB=CD，∠ACD=∠B=45°，于是得到$\frac{PB}{CD}$=1；
（2）根据已知条件得到△ABC∽△APD，由相似三角形的性质得到$\frac{AB}{AC}=\frac{AP}{AD}$=k，得到ABP∽△CAD，根据相似三角形的性质得到结论；
（3）过A作AH⊥BC于H，得到△ABH是等腰直角三角形，求得AH=BH=4，根据勾股定理得到AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，PH=$\sqrt{P{A}^{2}-A{H}^{2}}$=3，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{AC}=\frac{AP}{AD}$，推出△ABP∽△CAD，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠A=90°，$\frac{AB}{AC}$=1，
∴AB=AC，
∴∠B=45°，
∵∠PAD=90°，∠APD=∠B=45°，
∴AP=AD，
∴∠BAP=∠CAD，
在△ABP与△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAP=∠CAD}\\{AP=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ACD，
∴PB=CD，∠ACD=∠B=45°，
∴$\frac{PB}{CD}$=1，
故答案为：1，45°；

（2）∠ACD=∠B，$\frac{PB}{CD}$=$\frac{AB}{AC}$=k；
∵∠BAC=∠PAD=90°，∠B=∠APD，
∴△ABC∽△APD，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AP}{AD}$=k，
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD=90°，
∴∠BAP=∠CAD，
∴△ABP∽△CAD，
∴∠ACD=∠B，$\frac{PB}{CD}$=$\frac{AB}{AC}$=k；

（3）过A作AH⊥BC于H，
∵∠B=45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∵AB=4$\sqrt{2}$，
∴AH=BH=4，
∵BC=12，
∴CH=8，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴PH=$\sqrt{P{A}^{2}-A{H}^{2}}$=3，
∴PB=1，
∵∠BAC=∠PAD=，∠B=∠APD，
∴△ABC∽△APD，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AP}{AD}$，
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD，
∴∠BAP=∠CAD，
∴△ABP∽△CAD，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{PB}{CD}$，即$\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{CD}$，
∴CD=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
过A作AH⊥BC于H，
∵∠B=45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∵AB=4$\sqrt{2}$，
∴AH=BH=4，
∵BC=12，
∴CH=8，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴PH=$\sqrt{P{A}^{2}-A{H}^{2}}$=3，
∴PB=7，
∵∠BAC=∠PAD=，∠B=∠APD，
∴△ABC∽△APD，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AP}{AD}$，
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD，
∴∠BAP=∠CAD，
∴△ABP∽△CAD，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{PB}{CD}$，即$\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{5}}$=$\frac{7}{CD}$，
∴CD=$\frac{7\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．