Question

已知四边形ABCD（不是平行四边形）中，AD与BC不平行，E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、BD的中点．
（1）证明：四边形EFGH是平行四边形；
（2）图中不再添加其它的点和线，根据现有条件，在空格内分别添加一个你认为正确的条件，使下列命题成立：
①当四边形ABCD满足条件

 

时，四边形EFGH是菱形；
②当四边形ABCD满足条件

 

时，四边形EFGH是矩形．

Answer 1

分析：（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．只需证EH∥FG，EH=FG即可．
（2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形．只需证EH=HG，由中位线定理可证EH=

1

2

AD，HG=

1

2

BC，
所以AD=BC．
（3）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形．只需证∠EHG=90°，必须AD⊥BC．

解答：解：（1）∵E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH、FG分别是△ABD、△ACD的中位线，
∴EH∥AD，FG∥AD，EH=

1

2

AD，FG=

1

2

AD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．

（2）AD=BC；
∵EH、HG分别是△ABD、△BCD的中位线，
∴EH=

1

2

AD，HG=

1

2

BC，
∵AD=BC，
∴EH=HG，
∴平行四边形EFGH是菱形．

（3）AD⊥BC．
∵EH、HG分别是△ABD、△BCD的中位线，
∴EH∥AD，HG∥BC，
∵AD⊥BC，
∴EH⊥HG，∠EHG=90°
∴平行四边形EFGH是矩形．

点评：本题利用了：
1、三角形中位线的性质；
2、平行四边形的判定；
3、一组邻边相等的平行四边形是菱形；
4、有一个角是直角的平行四边形是矩形．