Question

如图，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．

（1）填空：点C的坐标是（    ,    ），点D的坐标是（   ,     ）；

（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；

（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）点C的坐标是(0，1)，点D的坐标是(－2，0)，（2）BM＝，（3）存在

解析:因为△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD，所以OB=OC=1，OA=OD=2所以点C的坐标是(0，1)，点D的坐标是(－2，0) ……………… 2分

（2）方法一：由（1）可知CD＝ ＝，BC＝1

又∠1＝∠5，∠4＝∠3

∴△BMC∽△DOC                                    ………………2分

∴＝  即＝

∴BM＝                                          ………………2分

方法二：设直线CD的解析式为y＝kx＋b

由（1）得

解得

∴直线CD的解析式为y＝ x＋1

又∠1＝∠5，∠BCM＝∠DCO

∴△BMC∽△DOC                                    ………………2分

∴＝  即＝

∴BM＝                                          ………………2分

方法三

∵  ∴  

∴M的坐标为(，)                                    ………………2分

过点M作ME⊥y轴于点E，则ME＝，BE＝

∴BM＝ ＝                             ………………2分

（3）存在                

分两种情况讨论：

① 以BM为腰时

∵BM＝，又点P在y轴上，且BP＝BM

时满足条件的点P有两个，它们是P₁ (0，2＋)、P₂ (0，2－)…………2分

过点M作ME⊥y轴于点E，∵∠BMC＝90°，

则△BME∽△BCM

∴＝

∴BE＝＝

又∵BM＝BP

∴PE＝BE＝

∴BP＝

∴OP＝2－＝

此时满足条件的点P有一个，它是P₃ (0，)          ……………1分

② 以BM为底时，作BM的垂直平分线，分别交y轴、BM于点P、F，

由（2）得∠BMC＝90°，

∴PF∥CM

∵F是BM的中点，

∴BP＝BC＝

∴OP＝

此时满足条件的点P有一个，它是P₄ (0，)  ……………… 1分

综上所述点P有四个：P₁ (0，2＋)、P₂ (0，2－)、P₃ (0，) P₄ (0，)