Question

16．如图，四边形ABCD，对角线AC与BD相交于O，下列4个命题：
（1）如AC⊥BD，则S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$AC•BD；
（2）如AD∥BC，AO=CO，则四边形ABCD是平行四边形；
（3）如△OAD与△BOC相似，则∠BAC=∠BDC；
（4）如∠BAC=∠BDC，则△OAD与△BOC相似，
其中是真命题的是（1）（2）（4）．

Answer 1

分析 根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半可得（1）正确；根据两直线平行，内错角相等可得∠OAD=∠OCB，再利用“角边角”证明△AOD和△COB全等，根据全等三角形对应边相等可得OB=OD，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ABCD是平行四边形，从而判断出（2）正确；若根据相似三角形对应角相等可得∠OAD=∠OBC，然后判断出点A、B、C、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠BDC；若根据相似三角形对应角相等可得∠OAD=∠OCB，再根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，无法确定出∠BAC=∠BDC，判断出（3）错误；先判断出点A、B、C、D四点共圆，然后根据同弧所对的圆周角相等可得∠OAD=∠OBC，∠ODA=∠OCB，然后判断出△OAD与△BOC相似，从而得到（4）正确．

解答 解：（1）∵AC⊥BD，
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$AC•BD，故本小题正确；
（2）∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠OCB，
在△AOD和△COB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠OCB}\\{AO=CO}\\{∠AOD=∠COB}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴OB=OD，
又∵AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本小题正确；
（3）①由△OAD与△BOC相似得，∠OAD=∠OBC，
所以，点A、B、C、D四点共圆，
所以，∠BAC=∠BDC，此时本题结论正确；
②由△OAD与△BOC相似得，∠OAD=∠OCB，
所以，AD∥BC，
此时若点A、B、C固定，则∠BAC大小不变，∠BDC随点D的左右移动而变化，
所以，无法确定出∠BAC=∠BDC，
综上所述，△OAD与△BOC相似，无法确定出∠BAC=∠BDC，故本小题错误；
（4）∵∠BAC=∠BDC，
∴点A、B、C、D四点共圆，
∴∠OAD=∠OBC，∠ODA=∠OCB，
∴△OAD与△BOC相似，故本小题正确；
综上所述，真命题是（1）（2）（4）．
故答案为：（1）（2）（4）．

点评 本题考查了命题与定理，主要利用了对角线互相垂直的四边形的面积的求法，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，四点共圆的知识，综合题，难度较大，（3）（4）考虑利用四点共圆求解是解题的关键．