Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A(6，0)，B(0，8)，动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点D从点A出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，连结CD交直线AB于点E，设点C运动的时间为t秒．

（1）当点C在线段BO上时，

①当OC=5时，求点D的坐标；

②问：在运动过程中，的值是否为一个不变的值？若是，请求出的值，若不是，请说明理由？

（2）是否存在t的值，使得△BCE与△DAE全等？若存在，请求出所有满足条件的t的值；不存在，请说明理由．

（3）过点E作AB的垂线交x轴于点H，交y轴于点G(如图)，当以点C为圆心，CE长 为半径的⊙C经过点G或点H时，请直接写出所有满足条件的t的值．

Answer 1

【答案】(1)①D为(9，0)，②存在，的值不变．；(2)t=2或50(3) ．

【解析】

（1）①OC=5，可求出运动时间t，得到OD的长即可求解；

②过点C作CP∥AB交x轴于点P，利用平行线分线段成比例得到AP=，再跟进即可求解；

(2)分①当点C在线段BO上时和②当点C在y轴负半轴上时，根据全等三角形的性质及三角函数的特点列方程求解;

(3)分CE=CG和CE=CH两种情况，分别求出直线E,G,H的坐标，再根据两点之间斜率公式或距离公式列出方程即可求解．

(1)①∵A(6，0)，B(0，8)

∴BO=8,AO=6，

当OC=5时，BC=8-5=3=t，

∴OD=OA+AD=6+3=9，

∴D为(9,0).

②的值不变.

点C运动的时间为t秒

∴BC=t，AD=t，CO=8-t，OD=6+t

过点C作CP∥AB交x轴于点P，

则

∴，

∴AP=，

∴.

(2)①当点C在线段BO上时(如图2)，

此时∠BCE和∠EAD都是钝角

∵BC=AD=t，∠BEC=∠AED，

∴当∠ABO=∠CDO时，△BCE≌△DAE

∴tan∠ABO=tan∠CDO

∴即

∴t=2；

②当点C在y轴负半轴上时(如图3)，

此时，∠BEC，∠AED分别是△DAE，△BCE的外角，

只能∠BEC=∠AED，由∠BEC+∠AED=180°

得∠BEC=∠AED=90°，

∵BC=AD=t，∠CBE=∠ADE，

∴△BCE≌△DAE

∴tan∠CBE=tan∠ADE

∴，即

∴t=50

综上：t=2或50时△BCE与△DAE全等．

（3）①当以点C为圆心，CE长 为半径的⊙C经过点G时，则CE=CG

∵BE⊥EG，

∴CE是△BEG的中线，

∴CG=BC=8-t，OG=t-（8-t）=2t-8

∴G（0，8-2t）

∵A(6，0)，B(0，8)，求得直线AB的解析式为：y=- ，kAB=

∵BE⊥EG

∴kEG= ，

设直线EG的解析式为y=x+b，

∵G（0，8-2t）

∴直线EG的解析式为y=x+8-2t

联立，解得

∴E（）

∵kCE= kCF

∴

∴

解得t=

②当以点C为圆心，CE长为半径的⊙C经过点H时，则CE=CH

∵C(0,8-t),D(6+t,0)

设CD的解析式为y=kx+b

把C(0,8-t),D(6+t,0)代入得，解得

∴CD的解析式为

联立，解得

∴E（）

∵BE⊥EH

∴kEH= ，

设直线EH的解析式为y=x+b，

∵E（）

∴直线EH的解析式为y=x+

令y=0, x+ =0，解得x=

∴H（，0）

∴CH2=，CE2==

∵CE=CH

∴=

解得t1=8，t2=

综上，t=8或或以点C为圆心，CE长为半径的⊙C经过点G或点H．