Question

6．如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点O，直线AB分别与⊙O₁、⊙O₂切于点B、A，分别与x轴、y轴交于点M（2$\sqrt{3}$，0）、C（0，2）．
（1）求⊙O₂的半径长；
（2）在直线AB上是否存在点P，使△MO₂P∽△MOB？求若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接AO₂．先依据待定系数法求得直线AB的解析式，然后依据特殊锐角三角函数值可求得tan∠CMO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，于是得到∠CMO=30°，然后依据含30°直角三角形的性质可求得MO=r；
（2）先求得∠BOM=30°，由相似三角形的判定定理可知∠PO₂M=30°或∠MPO₂=30°时，△OBM∽△O₂PM．当∠PO₂M=30°时，可证明点P与点C重合；当∠MPO₂=30°时，先证明△HPO₂≌△APO₂，由全等三角形的性质可求得O₂H=2$\sqrt{3}$，于是可求得点P的坐标．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b．
∵将点M与点C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得：k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=2，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2．
∵tan∠CMO=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CMO=30°．
如图1所示：连接AO₂．

∵AB与⊙O₂相切，
∴∠O₂AM=90°．
又∵∠CMO=30°，
∴MO₂=2r．
∴OM=2r-r，即r=2$\sqrt{3}$．
∴⊙O₂的半径为2$\sqrt{3}$．
（2）如图2所示：连接O₁B、O₂C、O₂A．

∵AB是⊙O₁的切线，
∴O₁B⊥AB．
又∵∠CMO=30°，
∴∠BO₁M=60°．
又∵O₁O=O₁B，
∴∠BOO₁=∠OBO₁．
∴∠BOM=30°．
∴当∠PO₂M=30°时，△OBM∽△O₂PM．
∵AB与⊙O₂相切，
∴∠O₂AM=90°．
又∵∠CMO=30°，
∴∠AO₂M=60°．
∵AC、OC与圆O₂相切，
∴∠CO₂M=$\frac{1}{2}$×60°=30°．
∴点P与点C重合．
∴此时点P的坐标为（0，2）．
如图3所示：连接O₂A、O₂P，过点P作PH⊥x轴，垂足为H．

当∠O₂PM=30°，△OBM∽△O₂PM．
∵∠O₂PM=∠O₂MP=30°，
∴∠PO₂H=60°．
∵PH⊥x轴，
∴∠PHO₂=90°．
∴∠HPO₂=30°．
在△HPO₂和△APO₂中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HP{O}_{2}=∠AP{O}_{2}}\\{∠PH{O}_{2}=∠PA{O}_{2}}\\{P{O}_{2}=P{O}_{2}}\end{array}\right.$，
∴△HPO₂≌△APO₂．
∴O₂H=O₂A=2$\sqrt{3}$．
∴OH=4$\sqrt{3}$，PH=$\sqrt{3}$O₂H=6．
∴P（-4$\sqrt{3}$，6）．
综上所述，点P的坐标为（-4$\sqrt{3}$，6）或（0，2）．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了切线的性质、相似三角形的判定定理、全等三角形的性质、特殊锐角三角函数值，证得△HPO₂≌△APO₂从而求得点P的坐标是解题的关键．