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(2008•苏州)课堂上,老师将图①中△AOB绕O点逆时针旋转,在旋转中发现图形的形状和大小不变,但位置发生了变化.当△AOB旋转90°时,得到∠A1OB1.已知A(4,2),B(3,0).
(1)△A1OB1的面积是______;A1点的坐标为(______);B1点的坐标为(______);
(2)课后,小玲和小惠对该问题继续进行探究,将图②中△AOB绕AO的中点C(2,1)逆时针旋转90°得到△A′O′B′,设O′B′交OA于D,O′A′交x轴于E.此时A′,O′和B′的坐标分别为(1,3),(3,-1)和(3,2),且O′B′经过B点.在刚才的旋转过程中,小玲和小惠发现旋转中的三角形与△AOB重叠部分的面积不断变小,旋转到90°时重叠部分的面积(即四边形CEBD的面积)最小,求四边形CEBD的面积;
(3)在(2)的条件下,△AOB外接圆的半径等于______.
【答案】分析:(1)如图1,作AE⊥OE,垂足为点E,作A1F⊥OF,由旋转的性质知,△OAE≌△OA1F,有A1F=AE=2,OF=OE=4,OB1=OB,∴点A1的坐标为(-2,4),点B1的坐标为(0,3),∴S△OB1A1=OB1•A1F=3;
(2)作CG⊥BD于G,CH⊥x轴于H,易得四边形CHBG为正方形,有∠CHE=∠CGD=90°,CH=CG,∠HCE=∠GCD,∴由ASA证得△HCE≌△GCD,有S四边形CEBD=S正方形CHBG=1;
(3)由垂径定理知,△AOB的外接圆的圆心应为OB与OA的中垂线的交点.OB的中垂线的解析式为x=,OA的中垂线是点A′,点O′确定的,可由待定系数法求得OA的中垂线的解析式为y=-2x+5,所以圆心的坐标为(,4),由勾股定理求得OA=,即△AOB的外接圆的半径为
解答:解:(1)3,A1(-2,4),B1(0,3);

(2)作CG⊥BD于G,CH⊥x轴于H,
∵B',B的横坐标相等,
∴B'B⊥x轴,
∴四边形CHBG为矩形.
∵C(2,1),B(3,0)
∴CG=1,
∴G(3,1),
∴GB=1,
∴CG=CH=1,
∴矩形CHBG为正方形.
∴∠HCG=90度.
∵∠ECD=90°,
∴∠HCE+∠ECG=∠GCD+∠ECG=90°
∴∠HCE=∠GCD.
在△HCE和△GCD中,
∴△HCE≌△GCD.
∴S四边形CEBD=S正方形CHBG=1;

(3)由垂径定理知,△AOB的外接圆的圆心应为OB与OA的中垂线的交点.
OB的中垂线的解析式为x=
设OA的中垂线的解析式为y=kx+b,把点A′,O′的坐标代入得
解得,k=-2,b=5,即OA的中垂线的解析式为y=-2x+5,
所以圆心的坐标为(,2),△AOB的外接圆的半径==
点评:本题利用了旋转的性质,矩形的正方形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,待定系数法确定直线的解析式,勾股定理求解.
练习册系列答案
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