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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，-3）精英家教网．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=-x+m过点C，交y轴于D点．
    （1）求抛物线的函数表达式；
    （2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；
    （3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．
    分析：（1）把点E，A、B的坐标代入函数表达式，即可求出a、b、c的值；
    （2）根据C点的坐标求出直线CD的解析式，然后结合图形设出K点的坐标（t，0），表达出H点和G点的坐标，列出HG关于t的表达式，根据二次函数的性质求出最大值；
    （3）需要讨论解决，①若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，当点N在点M的左侧时，MN=3-n；当点N在点M的右侧时，MN=n-3，然后根据已知条件在求n的坐标就容易了
    ②若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线时，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（-1，0），过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N，结合已知条件再求n的坐标就容易了．
    解答：精英家教网解：（1）设抛物线的函数表达式为y=a（x-1）（x+3）
    ∵抛物线交y轴于点E（0，-3），将该点坐标代入上式，得a=1
    ∴所求函数表达式为y=（x-1）（x+3），
    即y=x2+2x-3；

    （2）∵点C是点A关于点B的对称点，点A坐标（-3，0），点B坐标（1，0），
    ∴点C坐标（5，0），
    ∴将点C坐标代入y=-x+m，得m=5，
    ∴直线CD的函数表达式为y=-x+5，
    设K点的坐标为（t，0），则H点的坐标为（t，-t+5），G点的坐标为（t，t2+2t-3），
    ∵点K为线段AB上一动点，
    ∴-3≤t≤1，
    ∴HG=（-t+5）-（t2+2t-3）=-t2-3t+8=-（t+
    3
    2
    ）2+
    41
    4
    ，
    ∵-3＜-
    3
    2
    ＜1，
    ∴当t=-
    3
    2
    时，线段HG的长度有最大值
    41
    4
    ；

    （3）∵点F是线段BC的中点，点B（1，0），点C（5，0），
    ∴点F的坐标为（3，0），
    ∵直线l过点F且与y轴平行，
    ∴直线l的函数表达式为x=3，
    ∵点M在直线l上，点N在抛物线上，
    ∴设点M的坐标为（3，m），点N的坐标为（n，n2+2n-3），
    ∵点A（-3，0），点C（5，0），
    ∴AC=8，
    分情况讨论：
    ①若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，则需MN∥AC，且MN=AC=8．
    当点N在点M的左侧时，MN=3-n，
    ∴3-n=8，解得n=-5，
    ∴N点的坐标为（-5，12），
    当点N在点M的右侧时，MN=n-3，
    ∴n-3=8，
    解得n=11，
    ∴N点的坐标为（11，140），
    ②若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（-1，0）
    过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N，
    将x=-1代入y=x2+2x-3，得y=-4，
    过点N作直线NM交直线l于点M，
    在△BPN和△BFM中，
    ∠NBP=∠MBF，
    BF=BP，
    ∠BPN=∠BFM=90°，
    ∴△BPN≌△BFM，
    ∴NB=MB，
    ∴四边形ANCM为平行四边形，
    ∴坐标（-1，-4）的点N符合条件，
    ∴当N的坐标为（-5，12），（11，140），（-1，-4）时，以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形．
    点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式函数图象交点的求法等知识点、平行四边形的判定和性质等知识点，主要考查学生数形结合的数学思想方法．综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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    1
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    ，
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    8
    ），且与抛物线y2=ax2-ax-1相交于A，B两点．
    （1）求a值；
    （2）设y1=-ax2-ax+1与x轴分别交于M，N两点（点M在点N的左边），y2=ax2-ax-1与x轴分别交于E，F两点（点E在点F的左边），观察M，N，E，F四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；
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    如图，抛物线y=-ax2+ax+6a交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴正半轴于点D，精英家教网O为坐标原点，抛物线上一点C的横坐标为1．
    （1）求A，B两点的坐标；
    （2）求证：四边形ABCD的等腰梯形；
    （3）如果∠CAB=∠ADO，求α的值．

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    已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在精英家教网此抛物线上，矩形面积为12，
    （1）求该抛物线的对称轴；
    （2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；
    （3）若线段DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．

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    已知：如图，抛物线y=ax2+ax+c与y轴交于点C（0，-2），精英家教网与x轴交于点A、B，点A的坐标为（-2，0）．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）M是线段OB上一动点，N是线段OC上一动点，且ON=2OM，分别连接MC、MN．当△MNC的面积最大时，求点M、N的坐标；
    （3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与线段AC交于点F，点D的坐标为（-1，0）．问：是否存在直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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