Question

已知：如图，以一底角为67.5°的等腰梯形ABCD的一腰BC为直径做⊙O，交底AB于E，且恰与另一腰AD相切于M；
（1）求证：△EOM为等腰直角三角形；
（2）求的值．

Answer 1

（1）证明：∵OB=OE，
∴∠1=∠2=67.5°，
∵等腰梯形ABCD，
∴∠A=∠2=67.5°，
∴∠1=∠A，
∴OE∥AD，
∵AD与⊙O相切于M，
∴OM⊥AD，
∴OE⊥OM，
∴△EOM为等腰直角三角形；

（2）解：设⊙O的半径为r，OE=OM=r，
由（1）可知，
∴∠OEM=45°，
∴ME=r，
∵∠3=180°-（∠OME+∠1）=180°-（67.5°+45°）=67.5°，
∴△AME∽△EOB，
∴BE：AE=OE：ME，
∴BE：AE=r：r=1：=：2．
分析：（1）根据四边形ABCD为等腰梯形，得出∠1=∠A，从而推出OE∥AD，再根据OM⊥AD，即可得到△EOM为等腰直角三角形．
（2）证出△AME∽△EOB，再根据相似三角形的性质解题即可．
点评：此题考查了切线的性质和判定、等腰梯形的性质、等腰梯形的判定等内容，综合性较强，考查了同学们的分析问题的能力．